连续函数的分量连续性质，让我得以将数学分析研究的一元函数的性质，推广到多元函数。因此，我们有必要回顾一下一元函数的一些性质。一般地，我们有两种定义连续函数的性质。一种是利用$ϵ$-$\delta$语言定义，一种是利用序列极限定义。在一元函数中，这两种定义是等价的。同时，利用分量连续的性质，不难证明这两种定义在多元函数中也是等价的。因此，研究函数的连续性，一个躲不开的问题，是序列的极限。关于实数序列极限，在数学分析中有许多重要的定理，包括确界原理，阿基米德性质，单调有界收敛定理，柯西收敛定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，收敛子序列定理等等。这些结论中，将其中一个或者两个作为原理，可以推导出余下的定理。它们共同构成实数完备性的基石，当然也是整个分析学的基石。

按照一般的设定，我们通常假设确界原理是一个公理，由此推导出其他的定理。本文介绍的是实数序列的单调有界收敛定理。

定义 我们说实数序列 { x m } \{x_m\} { xm​}是单调非减的，如果$x_j\le x_{j+1}$对所有的正整数$j$成立。类似地，我们可以定义单调非增序列。

定义 我们说实数序列 { x m } \{x_m\} { xm​}有界，如果存在实数$C$满足$|x_j|<C$对所有的正整数$j$成立。

单调有界收敛定理 任何单调有界的序列都有极限。

证明 我们假设序列 { x m } \{x_m\} { xm​}单调非增，对于非减的情况证明类似。设集合 { x m } \{x_m\} { xm​}的上确界为$x$，我们将证明${\lim }_{m\to \infty }{x}_m=x$。

事实上，对于任意的$ϵ>0$都存在正整数$M$满足
$$x-ϵ<x_M\le x。$$
由序列的单调性知
$$x-ϵ<x_n\le x$$
也即
$$|x_n-x|<ϵ$$
对所有的$n>M$成立。这就证明了${\lim }_{m\to \infty }{x}_m=x$。证毕。

单调有界收敛定义最大的应用在于，我们可以不显式地求解序列的极限，来判断序列是否收敛。因为，绝大部分序列的极限是没有显式表达式的。

例 关于一个单调有界序列，一个最著名的例子是
$$a_n=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m!}$$
其单调性非常容易验证。为证明它有界我们有 m ! ≤ 2 m − 1