文章写到这有点跑题。标题是连续函数，其实都在讲序列的连续性。可是，既然都写成这样子，也懒得管它了，干脆将错就错，继续在羊头下卖狗肉。

柯西收敛定理，是非常重要的定理。在泛函分析中，我们把这个定理当做是完备空间的公理来使用。一个满足柯西收敛定理的度量空间，我们称作是完备空间。而完备空间，是我们在泛函分析中研究函数连续性的基础。

首先定义柯西序列。

定义 我们说序列 { x m } ⊂ R n \{x_m\}\subset \mathbb{R}^n { xm​}⊂Rn是柯西序列，如果对任意的$ϵ>0$都存在正整数$N$使得
$$|x_l-x_m|<ϵ$$
对所有的$l,m\ge N$成立。

很显然，任何收敛序列都是柯西序列。柯西收敛定理告诉我们，任何柯西序列都是收敛的。

定理（柯西收敛定理） 一个序列 { x m } \{x_m\} { xm​}收敛，当且仅当它是柯西序列。

证明 我们只证明充分性。为此，我们假设 { x m } \{x_m\} { xm​}是$\mathbb{R}$上的序列。对于一般的${\mathbb{R}}^n$上的序列，我们可以用分量连续的性质推广。

首先，证明序列 { x m } \{x_m\} { xm​}有界。为此，令$ϵ=1$，那么存在正整数$N_0$满足
$$|x_l-x_{N_0}|<1$$
也即