高中数学练习：初探均值换元法

1. 均值换元法定义

均值换元法是一种数学技巧，通过引入新变量 $t$ 将两个变量 $x$ 和 $y$ 表示为它们的平均值加上或减去 $t$ ，即 $\displaystyle x = \frac{a}{2} + t$ 和 $\displaystyle y = \frac{a}{2} - t$ ，其中 $a$ 是 $x$ 和 $y$ 的和。这种方法常用于求解涉及对称性的最优化问题。

数学竞赛最值问题：在数学竞赛中，均值换元法常用于求解最值问题。例如，对于问题“设实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 1$ ，则 $M = a^2b + 2b^2c + 3c^2a$ 的最大值为多少？”通过均值换元法，我们可以设 $\displaystyle a = \frac{1}{3} + t$ ， $\displaystyle b = \frac{1}{3} - t$ ， $\displaystyle c = \frac{1}{3}$ ，从而简化问题并求解 $M$ 的最大值。
高考数学问题：在高考数学中，均值换元法也是一种常用的技巧，特别是在处理涉及等差中项的三角函数问题时。通过将变量替换为等差中项加上或减去一个新变量，可以简化问题并使其更容易解决。
分式方程和无理方程：在解分式方程和无理方程时，换元法的基本思路是将复杂的方程转化为整式方程或有理方程。均值换元法在这些情况下特别有用，因为它可以帮助消去复杂的根号或分数。
证明中的应用：换元法在证明中应用广泛，比如一元二次方程根的问题、不等式的证明、几何问题等。均值换元法可以简化证明过程，使得证明更加简捷。

引入新变量
设 $x + 2023 = t$ 。那么， $x + 2022 = t - 1$ 和 $x + 2024 = t + 1$ 。
代入方程
将这些表达式代入原方程： $\displaystyle \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} = \frac{1}{12}$
合并分数
找到通分母并合并分数： $\displaystyle \frac{(t+1) - (t-1)}{(t-1)(t+1)} = \frac{1}{12}$
简化分子： $\displaystyle \frac{2}{t^2 - 1} = \frac{1}{12}$
交叉相乘求解 $t$
交叉相乘以消除分数： $\cdot 12 = t^2 - 1$
简化： $24 = t^2 - 1$
两边加1： $t^2 = 25$
对两边开平方： $\pm 5$
回代求 $x$
$t = x + 2023$ 。因此，我们有两种情况
- 如果 $\implies x = 5 - 2023 \implies x = -2018$
- 如果 $\implies x = -5 - 2023 \implies x = -2028$

因此，方程的解为 $x = - 2018$ 和 $x = - 2028$ 。

引入新变量
设 $x = 1 + t$ 和 $y = 1 - t$ 。这种选择是因为 $x$ 和 $y$ 的和是 2，而 1 是 2 的一半。
代入方程
将 $x$ 和 $y$ 的表达式代入第一个方程： $6^{1+t} + 6^{1-t} = 12$
使用指数的性质
使用指数的性质重写方程： $\cdot 6^t + 6 \cdot 6^{-t} = 12$
提取 $6$ ： $6(6^t + 6^{-t}) = 12$
简化方程
两边除以 6： $6^t + 6^{-t} = 2$
分析方程
使用换元法 $z = 6^t$ ，方程 $6^t + 6^{-t} = 2$ 变为 $\displaystyle \frac{1}{z} = 2$ 。两边同乘以 $z$ 得到 $z^2 - 2z + 1 = 0$ ，即 $z-1)^2 = 0$ 。因此， $z = 1$ ，从而 $6^t = 1$ ，所以 $t = 0$ 。
回代求 $x$ 和 $y$
回想 $x = 1 + t$ 和 $y = 1 - t$ 。因此，当 $t = 0$ 时， $\quad y = 1 - 0 = 1$
计算 $x y$
$\cdot 1 = 1$

做均值换元
$\displaystyle x = \frac{7}{2} + t$
$\displaystyle y = \frac{7}{2} - t$
计算 $x y$
$\displaystyle xy = \left(\frac{7}{2} + t\right)\left(\frac{7}{2} - t\right)$
使用平方差公式
$\displaystyle xy = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - t^2$
$\displaystyle xy = \frac{49}{4} - t^2$
分析表达式
表达式 $\displaystyle \frac{49}{4} - t^2$ 是关于 $t$ 的二次函数，其中 $t^2$ 的系数为负，表明它是一个开口向下的抛物线。因此，当 $t^2$ 最小时， $x y$ 取得最大值。
确定 $t^2$ 的最小值
$t^2$ 的最小值为 0，这发生在 $t = 0$ 时。
计算 $x y$ 的最大值
当 $t = 0$ 时， $\displaystyle xy = \frac{49}{4} - 0^2 = \frac{49}{4}$
因此， $x y$ 的最大值是 $\displaystyle \frac{49}{4}$ 。

均值换元法通过设定 $\displaystyle x = \frac{a}{2} + t$ 和 $\displaystyle y = \frac{a}{2} - t$ 简化问题，适用于对称性问题。它简化计算，揭示对称性，易于求解，适用于数学、物理、工程等领域。例如，在求解 $x + y = 7$ 时， $x y$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{49}{4}$ ，展示了该方法的有效性和实用性。