我们称将一个周期信号分解成一个直流和一系列复指数信号分量之和的过程为傅立叶展开，也就是说，要用一系列的角速度为 ω = k ω 0 \omega \; =\; k\omega _{0} ω=kω0 的旋转向量 c k e j k ω 0 t c_{k}e^{jk\omega _{0}t} ckejkω0t来合成周期信号。
具体的应用就是：我们得到一个周期信号 f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} f(t)=∑k=−∞∞ckejkω0t，假设要提取第m个（ k = m k=m k=m），对应的旋转向量为 m ω 0 m\omega _{0} mω0的系数 c m c_{m} cm，应该怎样计算 c m c_{m} cm的值。
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我们将要求的 k = m k=m k=m项从累加公式中提出来：
f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t = c m e j m ω 0 t + ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j k ω 0 t f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} =c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; +\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} f(t)=k=−∞∑∞ckejkω0t=cmejmω0t+k=−∞,k=m∑∞ckejkω0t -
两端乘 e − j m ω 0 t e^{-jm\omega _{0}t} e−jmω0t:
f ( t ) e − j m ω 0 t = c m e j m ω 0 t e − j m ω 0 t + ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}=c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; e^{-jm\omega _{0}t}+\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}} f(t)e−jmω0t=cmejmω0te−jmω0t+k=−∞,k=m∑∞ckej(k−m)ω0t
好像我们讲傅立叶展开式搞得更复杂了，但是接下来我们要用复指数信号的正交特性进行化简。先看看要用到的性质：
- 任意一个复指数信号与另一个复指数信号共轭乘积在基波周期内的积分都为0
∫ T e j m ω 0 t e − j n ω 0 t d t = 0 , ( m ≠ n ) \int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; 0\; ,\; \left( m\; \neq \; n \right) ∫Tejmω0te−jnω0tdt=0,(m=n) - 任意一个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分都为T
∫ T e j m ω 0 t e − j n ω 0 t d t = T , ( m = n ) \int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; T\; ,\; \left( m\; =\; n \right) ∫Tejmω0te−jnω0tdt=T,(m=n)
（这两个可以先用欧拉公式化为三角函数，再通过积化和差推导）
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在基波周期内对两端进行积分：
∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 c m d t + ∫ − T 2 T 2 ∑ k = − ∞ , k ≠ m ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t d t \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt}+\; \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}}}dt ∫−2T2Tf(t)e−jmω0tdt=∫−2T2Tcmdt+∫−2T2Tk=−∞,k=m∑∞ckej(k−m)ω0tdt -
化简：
∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 c m d t \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt} ∫−2T2Tf(t)e−jmω0tdt=∫−2T2Tcmdt -
求出 c m c_{m} cm:
c m = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} cm=T1∫−2T2Tf(t)e−jmω0tdt
我们已经将整个求过程 c m c_{m} cm描述完毕，回头再看 c m = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} cm=T1∫−2T2Tf(t)e−jmω0tdt这个式子，其实就是利用复指数信号的正交特性在基波周期内对其化简：
- 将 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t d t \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt} T1∫−2T2Tf(t)e−jmω0tdt展开
- 1 T ( 0 + 0 + . . . + c m e j m ω 0 t e − j m ω 0 t + 0 + . . . + 0 ) \frac{1}{T}\left( 0\; +\; 0\; +...+\; c_{m}e^{jm\omega _{0}t}e^{-jm\omega _{0}t}+\; 0\; +...+\; 0 \right) T1(0+0+...+cmejmω0te−jmω0t+0+...+0)
- 1 T ( T c m ) \frac{1}{T}\left( Tc_{m} \right) T1(Tcm)
没错，这就是
c
m
c_{m}
cm，醉了(e_e)
但是，我们在求解过程中是周期信号
f
(
t
)
f\left( t \right)
f(t)不是用来分解的（因为不知道
c
m
c_{m}
cm，😂），而是要整体代入求解。
最后：
之前一直坚信我不会再碰通信了，但是最近方向“突变”为CSI，我崩了。也后悔之前的不正经，没学好杜军老师讲的通信原理。
参考：陈爱军. 深入浅出通信原理