正态分布

若连续型随机变量$X$的概率密度为$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty$$
其中，$\mu ,\sigma (\sigma >0)$为常数，则称$X$服从参数为$\mu ,\sigma$的正态分布或高斯（gauss）分布，记为$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\mu$为位置参数）
性质

• 曲线关于$x=\mu$对称
• 当$x=\mu$时，取最大值$$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$$

当$\mu =0,\sigma =1$，$X$服从标准正态分布

引理
若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$, 则$Z=\frac{x-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

"3$\sigma$"法则
正态分布的值落入$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$内几乎是肯定的，（概率是99.74%）。

上$\alpha$分位点
设$X\sim N(0,1)$，若$z_{\sigma }$满足条件
P { X &gt; Z α } = α , 0 &lt; α &lt; 1 P\{X&gt;Z_{\alpha}\}=\alpha,0&lt;\alpha&lt;1 P{X>Zα​}=α,0<α<1
则称点$Z_{\alpha }$为标准正态分布的上$\alpha$分位点

正态分布举例

• 一个地区的男性成年人的身高
• 测量某零件长度的误差
• 海洋波浪的高度
• 半导体器件中热噪声或者电压

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