注意力机制的两种常用形式

注意力机制是现代自然语言处理模型（如Transformer）的核心组件。最常用的两种注意力机制是加性注意力（Additive Attention）和点积注意力（Dot-product Attention）。下面详细解释并举例说明这两种注意力机制的工作原理和区别。

1. 加性注意力（Additive Attention）

加性注意力通过一个前馈神经网络（feed-forward network）计算查询（query）和键（key）之间的相似度，具体步骤如下：

1. 输入：查询$Q$和键$K$。

2. 计算相似度：通过一个前馈神经网络计算相似度：
   $$e_{ij}={\text{v}}^{\top }\tanh ({\text{W}}_q{Q}_i+{\text{W}}_k{K}_j)$$
   其中，${\text{W}}_q$和${\text{W}}_k$是可学习的权重矩阵，$\text{v}$是一个可学习的向量。

3. 计算注意力权重：将相似度通过softmax函数进行归一化：
   $${\alpha }_{ij}=\frac{\exp (e_{ij})}{{\sum }_k\exp (e_{ik})}$$

4. 加权求和：利用注意力权重对值（value）$V$进行加权求和，得到输出：
   $$\text{Attention}(Q,K,V)=\sum _j{\alpha }_{ij}{V}_j$$

2. 点积注意力（Dot-product Attention）

点积注意力通过计算查询$Q$和键$K$的点积来衡量相似度，并加上一个缩放因子，具体步骤如下：

1. 输入：查询$Q$和键$K$。

2. 计算相似度：通过计算点积并除以缩放因子$\sqrt{d_k}$：
   $$e_{ij}=\frac{Q_i\cdot K_j^{\top }}{\sqrt{d_k}}$$
   其中，$d_k$是键的维度。

3. 计算注意力权重：将相似度通过softmax函数进行归一化：
   $${\alpha }_{ij}=\frac{\exp (e_{ij})}{{\sum }_k\exp (e_{ik})}$$

4. 加权求和：利用注意力权重对值$V$进行加权求和，得到输出：
   $$\text{Attention}(Q,K,V)=\sum _j{\alpha }_{ij}{V}_j$$

数据示例

假设我们有如下数据：

• 查询$Q$：$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
• 键$K$：$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$
• 值$V$：$\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$

加性注意力示例

1. 计算相似度：

   先计算前馈神经网络的输出，假设${\text{W}}_q={\text{W}}_k=\text{I}$（单位矩阵），${\text{v}}^{\top }=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$：

   对于$Q_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$和$K_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$：
   $$e_{11}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\cdot \tanh \left(\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\right)=1$$

   对于$Q_1$和$K_2=\left[\begin{array}{cc}3& 4\end{array}\right]$：
   $$e_{12}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\cdot \tanh \left(\left[\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right]\right)\approx 0.999$$

   类似地，计算其他相似度$e_{21}$和$e_{22}$。

2. 计算注意力权重：

   例如对于$Q_1$：
   $${\alpha }_{11}=\frac{\exp (1)}{\exp (1)+\exp (0.999)}\approx 0.5001$$
   $${\alpha }_{12}=\frac{\exp (0.999)}{\exp (1)+\exp (0.999)}\approx 0.4999$$

3. 加权求和：

   对于$Q_1$：
   $$\text{Attention}(Q_1,K,V)=0.5001\left[\begin{array}{cc}5& 6\end{array}\right]+0.4999\left[\begin{array}{cc}7& 8\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}6& 7\end{array}\right]$$

点积注意力示例

1. 计算相似度：

   直接计算点积并除以缩放因子$\sqrt{d_k}$（假设$d_k=2$）：

   对于$Q_1$和$K_1$：
   $$e_{11}=\frac{1\cdot 1+0\cdot 2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

   对于$Q_1$和$K_2$：
   $$e_{12}=\frac{1\cdot 3+0\cdot 4}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

   类似地，计算其他相似度$e_{21}$和$e_{22}$。

2. 计算注意力权重：

   例如对于$Q_1$：
   $${\alpha }_{11}=\frac{\exp (\frac{1}{\sqrt{2}})}{\exp (\frac{1}{\sqrt{2}})+\exp (\frac{3}{\sqrt{2}})}\approx 0.1192$$
   $${\alpha }_{12}=\frac{\exp (\frac{3}{\sqrt{2}})}{\exp (\frac{1}{\sqrt{2}})+\exp (\frac{3}{\sqrt{2}})}\approx 0.8808$$

3. 加权求和：

   对于$Q_1$：
   $$\text{Attention}(Q_1,K,V)=0.1192\left[\begin{array}{cc}5& 6\end{array}\right]+0.8808\left[\begin{array}{cc}7& 8\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}6.7624& 7.7624\end{array}\right]$$

结论

加性注意力和点积注意力在理论复杂度上相似，但点积注意力更快且更节省空间，因为它可以利用高度优化的矩阵乘法代码。通过具体数据示例，我们可以看到这两种注意力机制的工作原理和实际计算过程。