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【光纤通信基本知识03】利用波动理论分析光纤的导光原理

本人自学笔记,着重参考王为明主编的《光纤通信》与彭铎 李立 彭清斌的《光纤通信》,其余在网络上自行查找资料。

2.2 利用波动理论分析

        本部分由电磁场的基本方程式出发,用波动理论分析光纤的导光原理。

2.2.1 麦克斯韦方程及波动方程

        光波既然是一种电磁波,那么它就必须服从电磁场的基本规律。而一切宏观电磁现象应遵循的基本规律是麦克斯韦方程,因此,光波在光纤中的转播必须遵循麦克斯韦方程。电磁场的基本方程式与简谐时变场的波动方程(亥姆霍兹方程)在此不过多赘述。

        从基本方程式中可以看出,时变电场可以产生时变磁场,时变磁场又可以产生时变电场,电场和磁场之间相互激发、相互支持。在这一过程中,电磁场可以脱离最初的激发源,而由时变电场与时变磁场相互激发,形成电磁波的传播现象。光波在光纤中的传播,正是电磁波的一种传播现象。

2.2.2 阶跃型光纤的标量近似解法

        在利用波动理论进行分析时,通常有两种解法:矢量解法和标量解法。矢量解法是一个严格的传统解法,可以求满足边界条件的波动方程的解。但目前实际应用的光纤几乎都可以看作是弱波导光纤,对于这种光纤,可以使用一些近似的解法,从而简化问题。

        在弱波导光纤中,我们认为:\frac{n_{2}}{n_{1}}\rightarrow 1,所以\theta _{c}=sin^{-1}\frac{n_{2}}{n_{1}}\rightarrow 90^{\circ}。结合在光纤中形成波导的全反射条件,得出\theta _{1}\rightarrow 90^{\circ},即在弱波导光纤中,光射线几乎与光纤轴线平行。

        又因为平面波的传播方向(即射线方向)与平面波的\boldsymbol{E}\mathbf{H}是垂直的,因此弱波导光纤中的\boldsymbol{E}\mathbf{H}平面几乎与光纤轴线垂直。\boldsymbol{E}\mathbf{H}处在与传播方向垂直的横截面上的场分布称为横电磁波(TEM波)。在弱波导光纤中的\boldsymbol{E}\mathbf{H}分布是一种近似的TEM波。

        这种横向场的极化方向(即电场的空间指向)、在传输过程中保持不变的横电磁波,可以看成线极化波(或称线偏振波)。由于\boldsymbol{E}\mathbf{H}近似在横截面上,而且空间指向基本不变,所以可以把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间矢量近似为一个沿传输方向的、方向不变、仅大小变化的标量,因此即可满足亥姆霍兹方程。这种方程即为标量近似解法。

        在讨论中,光纤属于圆柱形介质,因此讨论此类问题一般采用圆柱坐标系。一般标量解的场方程的分析思路如下:

  1. 计算横向场\mathbf{\textbf{}E_{y}}的亥姆霍兹方程
  2. 将计算结果在圆柱坐标系下展开
  3. 用分离变量法求解横向场\mathbf{\textbf{}E_{y}}
  4. 根据麦克斯韦方程中电场和磁场的关系得出\mathbf{\textbf{}E_{x}}的解答式
  5. 根据电场和磁场的横向分量可用麦克斯韦方程写出轴向场分量\mathbf{\textbf{}E_{z}}\mathbf{\textbf{}H_{z}}的解答式

        之后利用波动理论去求解特征方程,即利用边界条件求解特征方程,令场的表达式满足边界条件。

阶跃型光纤标量模特性的分析

标量模的定义

        “极化”是指随着时间的变化,电场或磁场的空间方位的变化。一般人们把电场的空间方位作为波的极化方向。如果波的电场矢量空间取向不变,即其端点的轨迹为一条直线,则把这种极化称为直线极化,简称线极化。

        对于弱波导光纤,已经假定了其横向场的极化方向保持不变,因此可以认为它的横向场是线极化波,用LP(Linearly Polarized Mode)表示,就是人们常说的LP模(线性偏振模)。在特定条件下的传播模式,称为标量模,或LP_{mn}模。下标m和n的值用以表明各模式的场型特性。一般来说,模式的下标m表示该模式的场分量沿光纤圆周方向的最大值有几对(沿角向的亮斑数为2m,若m为0则为中心亮斑),下标n表示该模式的场分量沿光纤半径方向的最大值有几对(沿径向的亮斑数为n)。

图源网络

截止时标量模的特性

        截止:当光纤中出现了辐射模时,即认为导波截止。

        导波应限制在纤芯中,以纤芯和包层的交界面来导行,沿轴线方向传输。这时在包层内的电磁场是按指数函数方式迅速衰减的。令导波的传输常数为\beta,结合全反射的条件,得导波传输常数的变化范围为:

k_{0}n_{1}>\beta >k_{0}n_{2}

        当\beta =k_{0}n_{2}时,\theta _{1}=\theta _{c},这时电磁场能量已经不能有效地封闭在纤芯内,而面向包层进行辐射。这种状态称为导波截止的临界状态。

        当\beta <k_{0}n_{2}时,辐射损耗将进一步增大,使光波能量不再有效地沿光纤轴向传输,这时就认为出现了辐射模,导波处于截止状态。

截止时标量模的特征方程

        由于传输常数在\beta =k_{0}n_{2}时被认为是截止的临界状态,则截止时的归一化径向衰减常数为W_{c}^{2}=(\beta ^{2}-k_{0}^{2}n_{2}^{2})\alpha ^{2}=0(本博客未包含相关推导内容),以必须满足这一前提进行推导。最终得出截止时标量模的特征方程为:

J_{m-1}(U)=0

        令截止情况下LP_{mn}模的归一化截止频率为V_{c},所对应的归一化径向相位常数为U_{c}。由于U^{2}+W^{2}=V^{2}(W为导波的归一化径向衰减常数),得V_{c}=U_{c}。由贝塞尔函数的知识可以求得截止情况下LP_{mn}模的U_{c}值如下表所示:

        由于模式的传输在V>V_{c}的情况下可传,否则截止。因此根据上表,可得LP_{01}模在任何频率下都可以传输,即其的截止波长最长。在导波系统中,截止波长最长的模是最低模,称为基模,其余所有模式均为高次模。

远离截止

        当V\rightarrow \infty时,远离截止,此时光能完全集中在纤芯中,包层中没有能量。如上表,远离截止时LP_{mn}模的U值也有对应的表格,表格如下:

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阶跃型光纤中的功率分布

        对于某一个模式来说,其电磁场能量在理想情况下应被封闭在纤芯中沿轴向传输。但实际上,在纤芯和包层的界面处,电磁场并不为零,而是由纤芯中的振荡形式转变为包层中的指数衰减。因此,要传输的导波能量大部分是在纤芯中传输,而有一部分则在包层中传输。

        功率在纤芯和包层里所占比例的大小和该模式的截止频率有关。当V\rightarrow \infty时,它的能量将聚集在纤芯中;当V\rightarrow V_{c}时,能量的大部分是在包层里,这时的导波将成为辐射模。

        通过计算各模式在纤芯和包层里的功率可以看出能量在纤芯中集中的程度。计算方法是将沿轴线方向的坡印亭矢量分别在光纤的纤芯和包层的横截面上进行积分,就可以求出在纤芯中传输的功率和在包层中传输的功率,再将纤芯和包层中的功率相加,即可得出光纤的总功率。

阶跃型光纤中导模数量的估算

        在光纤中,当不能满足单模传输条件(0<V<2.40483)时,将有多个导波同时传输,故称多模光纤。传输模数量的多少用M表示:M=\frac{V^{2}}{2}。导模数量是由光纤的归一化频率决定的,当纤芯半径越大(当V值比较大时,模式数目正比于V的平方。对于给定的波长,当V值小于2.40483时,即为单模光纤时,纤芯半径越大,截止频率越低,传输的导模数量反而越少。因此,纤芯半径与传输导模数量的关系并不是简单的正相关),工作频率越高时,传输的导模数量就越多。

2.2.3 渐变型光纤的标量近似解法

渐变型光纤的标量近似解

        对于渐变型光纤来说,光波的电场、磁场的振幅和相位都应该是空间位置r的函数,因此,其分析思路如下:

  1. 引入本地平面波的概念
  2. 平方率型折射率分布光纤的亥姆霍兹方程
  3. 用分离变量法求解

         基于以上分析,可以求解处渐变型光纤的导波相位常数(\beta)的解析表达式。

平方率型折射率分布光纤的模数量

        通过对模式群中的模数量进行分析,得出M_{max}\approx \frac{V^{2}}{4}。因此在相同V的情况下,它比阶跃型光纤中的模数量减少一半。

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