10.9学习日志

一.定积分

定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数在某个区间上的累积效应或面积。

1.定义

定积分

$∫_{a}^{b}f(x) dx$

表示函数 f(x)在区间 [a,b]上的累积效应或面积。定积分的定义可以通过以下步骤来理解：

分割区间：将区间 [a,b]分割成 n 个小区间，每个小区间的长度为 Δxi，其中

$Δx_{i}=x_{i}−x_{i−1}$

，且 x0=a，xn=b。
取样本点：在每个小区间

$[x_{i−1},x_{i}]$

内取一个样本点 ξi。
构造黎曼和：构造黎曼和

$\sum _{i=1}^{n}f(ξ_{i})Δx_i$

，表示函数 f(x) 在区间 [a,b]上的近似累积效应或面积。
取极限：当分割的区间数 n 趋向于无穷大，且每个小区间的长度 Δxi趋向于零时，黎曼和的极限即为定积分：

$∫_{a}^{b}f(x) dx=\lim _{n\rightarrow \infty}\sum _{i=1}^{n}f(ξ_{i})Δx_{i}$

说明：

黎曼和是通过将区间 [a,b]分成 n 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为

$Δx=\dfrac{b−a}{n}$

，然后选择每个子区间内的一点 xi，计算矩形的面积之和来近似积分的。

黎曼和可以表示为：

$S_n=∑_{i=1}^nf(x_i)Δx$

其中：

Sn是黎曼和的值。
n是子区间的数量。
xi是第 i个子区间 [xi−1,xi]内的一点。
Δx是每个子区间的宽度。

2.几何意义

定积分

$∫_{a}^{b}f(x) dx$

的几何意义是函数 f(x) 在区间 [a,b]上的曲线下面积。具体来说：

如果 f(x)≥0，则定积分表示曲线下方的面积。
如果 f(x)≤0，则定积分表示曲线上方的面积的负值。

3.性质

定积分具有以下重要性质：

线性性质：

$∫_{a}^{b}[cf(x)+dg(x)] dx=c∫_{a}^{b}f(x) dx+d∫_{a}^{b}g(x) dx$

其中 c 和 d 是常数。
区间可加性：

$∫_{a}^{b}f(x) dx=∫_{a}^{c}f(x) dx+∫_{c}^{b}f(x) dx$

其中 a≤c≤b。
积分上下限交换：

$∫_{a}^{b}f(x) dx=−∫_{b}^{a}f(x) dx$
定积分中值定理

如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 c∈[a,b]，使得：

$∫_{a}^{b}f(x) dx=f(c)(b−a)$

证明：

设f(x)在[a,b]上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为M，最小值为m，最大值和最小值可相等。

对

$m\leq f(x)\leq M$

两边同时积分可得：

$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$

同除以b-a从而得到：

$m\leq \dfrac{1}{(b-a)}\int _{a}^{b}f(x)dx\leq M$

由连续函数的介值定理可知，必定

$\exists c\in [a,b]$

，使得

$f(c)=\dfrac{1}{(b-a)}\int _{a}^{b}f(x)dx$

，即：

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a),\exists c\in [a,b]$

4.微积分基本公式

牛顿-莱布尼茨公式

$∫_{a}^{b}f(x)dx=F(b)−F(a)$
其中，F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)。

微积分基本定理

微积分基本定理分为两部分，分别描述了积分上限函数的性质和定积分的基本公式。

第一部分（Part 1）

如果 f(t) 在区间 [a,b]上连续，则积分上限函数

$F(x)=∫_{a}^{x}f(t) dt$

在区间 [a,b] 上可导，并且其导数为：

F′(x)=f(x)

第一基本定理表明不定积分是微分的逆运算，保证了某连续函数的原函数的存在性。

第二部分（Part 2）

如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)，则：

$∫_{a}^{b}f(x) dx=F(b)−F(a)$

第二基本定理则提供了定积分和不定积分之间的联系，使得定积分的计算变得简便。

5.定积分换元法

步骤

选择合适的变量替换：选择一个合适的变量替换 t=g(x)，使得积分变得更简单，并求反函数：

$x=g^{-1}(t)=h(t)$

求导数：对 x 的导数

dx=h'(t)dt

替换积分变量：将原积分中的 x 替换为 t，并将 dx 替换为

h'(t)dt

确定新的积分上下限：将原积分的上下限 a 和 b 替换为新的上下限 t 的值。即 t 的下限为 t1，上限为 t2。
求解新积分：求解新的定积分

$∫_{t_{1}}^{t_{2}}f(h(t)) h'(t)dt$

二.多元函数

1.二元极限

定义

设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在正数 δ，使得当

$0<\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}<δ$

时，总有：

∣f(x,y)−L∣<ϵ

则称 L 为函数 f(x,y)在点 (a,b)处的极限，记作：

$\lim⁡ _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$

几何意义

当点 (x,y)从任意方式趋近于点 (a,b) 时，函数 f(x,y) 的值趋近于 L。换句话说，函数图像在二维平面的点 (a,b)附近趋近于一个三维立体平面上的点 (a,b,L)。可将(a,b)想象为(a,b,L)投影在二维平面的点。

如果 (x,y)从不同方式趋近于点 (a,b)，函数 f(x,y) 的值不相等，则表示 f(x,y) 不存在。

2.偏导数

‌偏导数是‌多元函数求导的一种形式，表示在多个自变量中，当其中一个自变量改变而其他自变量保持不变时函数值的变化率。

这实质上是将其他自变量视为常数，然后按照单变量函数求导的方法进行运算。‌

定义

设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某个邻域内有定义。如果极限：

$\lim_{⁡Δx→0}\dfrac{f(x_0+Δx,y_0)−f(x_0,y_0)}{Δx}$

存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数，记作：

$\dfrac{∂f}{∂x}∣(x_0,y_0)或f'_x(x_0,y_0)$

类似地，如果极限：

$\lim⁡ _{Δy→0}\dfrac{f(x_0,y_0+Δy)−f(x_0,y_0)}{Δy}$

存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数，记作：

$\dfrac{∂f}{∂y}∣(x_0,y_0)或f'_y(x_0,y_0)$

‌偏导数的计算方法‌

对于二元函数z=f(x,y)，求z对x的偏导数时，将y看作常量，对x求导；求z对y的偏导数时，将x看作常量，对y求导。

3.全微分

定义

如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量

$Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)$

可以表示为

$Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)$

，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x, y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)²+(Δy)²])，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

可微的必要条件条件

若z=f(x,y)在(x,y)点处可微，则偏导数

$f_{x}'(x,y)和f_{y}'(x,y)$

存在，并且

$dz=f_{x}'(x,y)⁡Δx+f_{y}'(x,y)⁡Δy或dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)⁡dx$

可微的充分条件

z=f(x,y)在(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数

$f_{x}'(x,y)和f_{y}'(x,y)$

则在(x,y)处可微，

$dz=f_{x}'(x,y)⁡Δx+f_{y}'(x,y)⁡Δy或dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)⁡dx$

4.梯度

梯度是一个向量，表示多元函数在某一点处的最大变化率和变化方向。

定义

设 f(x1,x2,…,xn)是一个定义在 Rn(n维欧几里得空间) 上的多元函数，函数 f在n维向量点 a=(a1,a2,…,an)处的梯度定义为：

$∇f(a)=(\dfrac{∂f}{∂x_1}(a),\dfrac{∂f}{∂x_2}(a),…,\dfrac{∂f}{∂x_n}(a))$

其中，

$\dfrac{∂f}{∂x_i}(a)$

是函数 f 在点 a 处对第 i 个自变量的偏导数。

性质

最大变化率：梯度 ∇f(a) 的方向是函数 f在点 a 处变化率最大的方向。
变化率：梯度 ∇f(a) 的大小（模）是函数 f 在点 a 处沿梯度方向的变化率。

沿梯度方向是是函数 f在点 a 处变化率增加最大的方向；沿梯度反方向是是函数 f在点 a 处变化率减小最大的方向；沿梯度垂直方向函数 f在点 a 处变化率为0。

梯度下降

梯度下降是一种优化算法，用于寻找多元函数的最小值。其基本思想是沿着函数的负梯度方向逐步更新参数，以减少函数值。

算法步骤

初始化：选择一个初始点 x0。
迭代更新：对于每次迭代 k，计算当前点的梯度

，并更新参数：

$x_{k+1}=x_k−η∇f(x_k)$

其中，η 是学习率（步长），控制每次更新的步幅。
终止条件：当梯度的模足够小或达到预设的迭代次数时，停止迭代。通常，终止条件可以是以下几种：
1. 梯度的模足够小：当梯度的模（或范数）
  
  小于某个阈值时，停止迭代。
  
  说明：
  
  梯度的范数表示梯度向量的大小，即梯度向量的长度。
  
  梯度的范数（模） ∥∇f(xk)∥是这个向量的欧几里得长度，定义为：
  
  $||∇f(x_k)||=\sqrt{(\dfrac{∂f}{∂x_1})^2+(\dfrac{∂f}{∂x_2})^2+⋯+(\dfrac{∂f}{∂x_n})^2}$
2. 达到预设的迭代次数：当迭代次数达到预设的最大迭代次数时，停止迭代。
3. 函数值变化足够小：当函数值的变化
  
  $∣f(x_{k+1})−f(x_k)∣$
  
  小于某个阈值时，停止迭代。

学习率

学习率 η是一个重要的超参数，控制着每次更新的步幅。选择合适的学习率对于梯度下降算法的性能至关重要：

学习率过大：如果步幅过大，算法可能会“跳过”最优解，导致在最优解附近来回震荡。
学习率过小：可能导致算法收敛速度过慢。

5.二重积分

二重积分是多元微积分中的一个重要概念，用于计算二维区域上的函数积分。它通常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。二

重积分的基本思想是将一个二维区域分割成无数个小区域，然后在每个小区域上计算函数值的积分。

定义

设 f(x,y)f(x,y) 是定义在平面区域 D 上的函数，二重积分记作：

∬_Df(x,y) dA

其中 dA表示面积元素。

几何意义

如果 f(x,y)是非负函数，二重积分

∬_Df(x,y) dA

表示以 D 为底、以 f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

二重积分的计算步骤-直角坐标系

在直角坐标系下，二重积分可以表示为两个定积分的乘积：

$∬_Df(x,y) dA=∫_a^b∫_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dy dx$

其中 D 是由 x=a 到 x=b 以及 y=g(x)到 y=h(x) 围成的区域。

确定积分区域 D：首先，你需要确定积分区域 D的边界。这个区域可以是矩形、圆形、多边形等。
设置积分限：根据积分区域 D，设置积分的限。例如，对于直角坐标系中的矩形区域，积分限通常是 a≤x≤b 和 c≤y≤d。
写出积分表达式：根据积分限写出二重积分的表达式：

$∫_a^b∫_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dy dx=∫_a^bdx∫_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dy$
计算内层积分：先对 y 进行积分，得到关于 x 的表达式。
计算外层积分：再对 x 进行积分，得到最终的积分值。