【动态规划Ⅳ】二维数组的动态规划——最小路径和

二维数组的动态规划

最小路径和

这一组题目都非常相似，其实就是遍历数组，不管是长方形的，还是三角形的，遍历的过程中更新状态，并用dp数组记录。 dp数组都可以从二维的优化到一维的。但是需要注意，更新dp[i]的时候，dp[i]依赖的元素，如果是上一轮更新的结果，那么这个元素要在dp[i]之后更新；如果这个元素应该是新一轮更新的结果，那么这个元素要在dp[i]之前更新——这个决定了更新的方向，是从后往前还是从前往后。

最小路径和

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。

其实这个题还是非常简单的！到一个点只能通过左边和上边两个点，如果用dp这个二维数组进行状态转移的话，dp[i][j]就是到这个点需要的最小路径和，更新过程：dp[i][j] = min( dp[i-1][j], dp[i-1][j])。

原地修改数组

直接在原来的数组grid上更新，这样虽然解决了空间复杂度，但是在实际业务中，修改原数组是很危险的（原数组可能在很多地方有其他用处，而且java是面向对象的，传入的数组是引用……）。
java代码如下：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int row = grid.length; // get number of rows
        int col = grid[0].length; // get number of columns
        // 第一列只能从下网上
        for(int i = 1; i < row; i++)
            grid[i][0] += grid[i-1][0];
        //第一行只能从左往右
        for(int j = 1; j < col; j++)
            grid[0][j] += grid[0][j-1];
        // 更新其他点
        for(int i = 1; i < row; i++)
            for(int j = 1; j < col; j++){
                grid[i][j] += Math.min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
            }
        return grid[row-1][col-1];
    }
}

定义二维数组进行状态转移

定义一个和原数组一样大小的二维数组，进行状态转移，其实和上面是一样的，只是需要一个新的数组。
java代码如下：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int row = grid.length; // get number of rows
        int col = grid[0].length; // get number of columns
        int[][] pathCount = new int[row][col];
        pathCount[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < row; i++)
            pathCount[i][0] = grid[i][0] + pathCount[i-1][0];
        for(int j = 1; j < col; j++)
            pathCount[0][j] =  grid[0][j] + pathCount[0][j-1];        
        for(int i = 1; i < row; i++)
            for(int j = 1; j < col; j++){
                pathCount[i][j] = grid[i][j] + Math.min(pathCount[i-1][j], pathCount[i][j-1]);
            }
        return pathCount[row-1][col-1];
    }
}

优化：用一维数组进行状态转移

二维状态转移数组，其实每一行只在计算第二行的用到，因此可以之际用一维的，此时更新过程：dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j]。遍历的时候一维dp还是从前往后，dp[i]依赖于dp[i-1]，而dp[i-1]确实需要先更新。
java代码如下：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int row = grid.length; // get number of rows
        int col = grid[0].length; // get number of columns
        int[] pathCount = new int[col];
        Arrays.fill(pathCount ,Integer.MAX_VALUE);
        pathCount[0] = 0;        
        for(int i = 0; i < row; i++)
            for(int j = 0; j < col; j++){
                if(j > 0)
                    pathCount[j] = grid[i][j] + Math.min(pathCount[j], pathCount[j-1]);
                else
                pathCount[j] += grid[i][j] ;
            }
        return pathCount[col-1];
    }
}

相似题目：LCR 166. 珠宝的最高价值

LCR 166. 珠宝的最高价值

现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架，其中 frame[i][j] 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为：

只能从架子的左上角开始拿珠宝
每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置
到达珠宝架子的右下角时，停止拿取

注意：珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝，比如 frame = [[0]]。

这题和最小路径和，是一模一样的，只是换了个场景罢了。

class Solution {
    public int jewelleryValue(int[][] frame) {
        int m = frame.length, n = frame[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (i > 0) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
                }
                if (j > 0) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
                }
                dp[i][j] += frame[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

120. 三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

这个题目和上面的题目不同的点在于，这是一个三角形的结构，且一行的状态完全由上一行的节点状态相关。题目中说上一行节点i下次移动到下一行的i或者i+1，那么对于下一行i，其实是由i-1和i中较小值移动来的。
经过上面的分析假设用二维数组dp表示状态转移，那么dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]。

原地修改数组

可以直接在triangle数组上进行状态转移。java代码如下。需要注意的是java中的<List<List<>>>这样的数据结构，之前没咋用，不能直接用下标，需要用set()和get()方法。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int row = triangle.size(); 
        // 如果只有一行，直接返回
        if(row == 1) 
            return triangle.get(0).get(0);
        for(int i = 1; i < row; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
            	//第一列只能由上方的点转移来
                if(j==0)  
                    triangle.get(i).set(0, triangle.get(i).get(0) + triangle.get(i-1).get(0));
                // 其他点由其上方和左上方两个中较小的决定
                else
                    triangle.get(i).set(j, triangle.get(i).get(j) + Math.min(triangle.get(i-1).get(j-1), triangle.get(i-1).get(j)));
            }
            //最后一个点只能由左上方的点转移来
            triangle.get(i).set(i, triangle.get(i).get(i) + triangle.get(i-1).get(i-1));
        }
        //最后一行的最小值为结果
        int count = triangle.get(row-1).get(0);
        for(int i =1; i < row; i++)
            count = Math.min(count,triangle.get(row-1).get(i));
        return count;
    }
}

定义二维数组进行状态转移

修改原始数据会有很多潜在威胁，还是定义一个新的二维数组进行状态转移：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int row = triangle.size(); 
        if(row == 1) 
            return triangle.get(0).get(0);
        // 定义新的数组
        int dp[][] = new int[row][row];
        dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        for(int i = 1; i < row; i++){
        	//单独处理每行第一个，其只能由上一行第一个转移而来
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + triangle.get(i).get(0);
            // 正常处理，由上一行的j-1和j较小的一个转移而来
            for(int j = 1; j < i ; j ++)
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle.get(i).get(j);
            //每行最后一个只能由上一行最后一个转移而来
            dp[i][i] = dp[i-1][i-1] + triangle.get(i).get(i);
        }
        int count = dp[row-1][0];
        for(int i =1; i < row; i++)
            count = Math.min(count,dp[row-1][i]);
        return count;
    }
}

一维数组进行状态转移

同样的，我们也可以考虑用一维数组进行状态转移，优化空间复杂度，但是需要注意的是，这个题目，更新一维状态数组的时候，需要从后往前！因为dp[j] = min(dp[j-1], dp[j]) + triangle[i][j]的时候，dp[j-1]应该是上一轮更新的结果，表示上一行的结果；如果从前往后，dp[j-1]以及在这一轮更新过了。因此整体的更新防线：自顶向下；某一层的更新方向（dp状态数组的更新方向）从后往前。
Java代码如下：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int row = triangle.size(); 
        if(row == 1) 
            return triangle.get(0).get(0);
        int dp[] = new int[row];
        dp[0] = triangle.get(0).get(0);
        for(int i = 1; i < row; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + triangle.get(i).get(i);
            for(int j = i -1; j> 0 ; j--)
                dp[j] = Math.min(dp[j-1], dp[j]) + triangle.get(i).get(j);
            dp[0] = dp[0] + triangle.get(i).get(0);
        }

        int count = dp[0];
        for(int i =1; i < row; i++)
            count = Math.min(count,dp[i]);
        return count;
    }
}

自底向上，反方向进行状态转移

题意中，上一层下标为i的，可以传递到下一层下标为i和i+1的。可以考虑将这个传递方向反过来，直接从最后一行开始，从下往上传递，最后到triangle[0][0]，得到的就是最终的答案！从下一层到上一层，状态转移为：dp[j] = min(dp[j], dp[j+1]) + triangle[i][j];，也就是说上一层下标为i的元素，由下一层下标为i和i+1的元素影响，这其实就是题意的意思。整体的更先方向是自底向上的，一行中的更新方向是从前往后的。
Java代码：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int row = triangle.size(); 
        if(row == 1) 
            return triangle.get(0).get(0);
        int dp[] = new int[row];
        // 将三角形最后一行赋值给dp状态数组
        for(int i = 0; i < row; i++)
            dp[i] = triangle.get(row-1).get(i);
        //从下往上更新
        for(int i = row - 2; i >=0 ; i--){
        	//每一层从前往后更新
            for(int j = 0; j <= i ; j++)
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j+1]) + triangle.get(i).get(j);
        }
        return dp[0];    
    }
}

931. 下降路径最小和

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

根据题意，row行col列的元素，往下可以传递到row+1行的col-1、col以及col+1列，那么对于row+1行的col列，可以从row上的col-1、col以及col+1列传递来，因此定义二维的状态转移数组dp，转移过程：dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1] + matrix[i][j]。注意边界，第一列和最后一列只能由上一行的两个元素传递来。
java代码如下：

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        int[][] dp = new int[n][n];
        // 第一行直接赋值
        for(int i = 0; i < n; i++)
            dp[0][i] = matrix[0][i];
        for(int i=1; i<n; i++){
        	// 第一列的特殊情况
            dp[i][0]= Math.min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]) + matrix[i][0];
            for(int j = 1;j < n-1; j++){
                dp[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(dp[i-1][j-1], Math.min(dp[i-1][j+1],dp[i-1][j]));
            }
            // 最后一列的特殊情况
            dp[i][n-1] = matrix[i][n-1] + Math.min(dp[i-1][n-1],dp[i-1][n-2]);
        }
        int ans = dp[n-1][0];
        for(int i =1; i<n;i++)
            if(dp[n-1][i]<ans)
                ans = dp[n-1][i];        
        return ans;
    }
}

1289. 下降路径最小和 II

给你一个 n x n 整数矩阵 grid ，请你返回 非零偏移下降路径 数字和的最小值。
非零偏移下降路径定义为：从 grid 数组中的每一行选择一个数字，且按顺序选出来的数字中，相邻数字不在原数组的同一列。

这个题目说得天花乱坠的，其实就是row行选了col列，那么row-1行和row=1行都不能选col列，除了col列的其他行都能选择。这个也可以用二维的dp数组进行状态转移：dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][k]) k≠j。也就是说，针对一行的每个元素，找到除这个列意外的，dp[i-1]中的最小值即可，代码中可以用三层循环实现：

for(int i = 0; i < row; i++) //遍历行
	for(int j = 0; j < col; j++) // 遍历列
		for(………………)//找dp[i-1]中非j列的min 
		//update dp[i][j]

优化分析：

每次找dp[i-1]行中的最小值除了j列以外的最小值，其实除了最小值对应的minIndex列以外的列，找到的最小值就是dp[i-1]整个行的最小值。而最小值minIndex对应列，要找的最小值，是整个dp[i-1]中的第二个最小值。
最终要求返回的是路径最小和，也就是对最后一行dp[row-1]更新后的最小值。因此我们只需要用一个firstMin变量记录每一行的最小值即可（循环更新的，每一层遍历一行就会更新），最后返回这个值即可。
最终状态转移：

Java代码如下：

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length; 
        // 记录上一行结果的最小值和第二最小值，以及最小值对应的下标   
        int firstMin = 0; 
        int secondMin = 0; 
        int firstIndex = -1;
        for(int i = 0; i < row; i++){
        	//记录当前行结果的最小值、第二最小值，以及最小值对应的下标
            int curFirMin = Integer.MAX_VALUE;
            int curSecMin = Integer.MAX_VALUE;
            int curFirIndex = -1;
            for(int j = 0; j < col; j++){
            //curSum就是dp[j]
                int curSum = (j != firstIndex ? firstMin : secondMin) + grid[i][j];
                if(curSum < curFirMin){
                    curSecMin = curFirMin;
                    curFirMin = curSum;
                    curFirIndex = j;
                }
                else if(curSum < curSecMin)
                    curSecMin = curSum;
            }
            //用这一轮结果更新上一轮结果
            firstIndex = curFirIndex;
            firstMin = curFirMin;
            secondMin = curSecMin;
        }
        return firstMin; //最终返回firstMin即可
    }
}