ICCV2013跟踪算法MCCF原理及代码解析

文章和代码下载地址：

Galoogahi H K, Sim T, Lucey S. Multi-channel Correlation Filters.

代码下载地址：http://www.hamedkiani.com/mccf.html

相关滤波可以表示为一个求解岭回归问题：

$\min_{w}\sum_{i}(f(x_{i})-y_{i})^{2}+\lambda ||w||^{2}$

$y_{i}$ 表示期望相应， $\lambda$ 表示正则系数防止过拟合。这个公式怎么来的可以查阅MOSSE，CSK及KCF的文章，在此就不赘述了。

一、引言

为了更好的表示训练样本的信息，大牛牛们引入了各种各样的特征表示，如KCF用了HOG特征，CN用了颜色特征等。但是特征的引入不可避免的会带来计算量的增加，如HOG特征是31个维度的，每个维度单独计算的话，那么计算量要增加31倍。所以这些牛们就要想办法加速，KCF使用核函数来加速计算，CN则用PCA降维的方法。

而本文所讲的MCCF方法就是计算基于HOG特征相关滤波器的一种方法。不管是使用核函数还是使用PCA降维，不可避免的都会造成特征信息的丢失，举个例子，31维的HOG特征经过核函数后变成了一维的特征，而CN所用的颜色特征通过PCA也从11维变成了2维。我们是可以通过低维数据来表示高维特征，但是特征信息不可避免的会丢失一些，因为毕竟不是原来的特征了。

好了可以引入本文的处理方法了，MCCF采取的策略不是将特征降维的思想，而是设计多维特征的并行计算。在求解滤波器的过程每个特征通道都是相互独立的。作者把每个像素点对应的31个通道当做一个整体来计算，大大增加了其运算速度。此后作者提出的CFLB和BACF算法通过ADMM迭代进一步增加了滤波器的求解速度。我觉得MCCF的思路比KCF使用核函数要好，毕竟信息一点都没有丢失，个人看法哈，不喜勿喷。

二、MCCF

文归正传，现在开始讲MCCF算法。

首先作者把前面提到的滤波器求解的岭回归方程表示成如下方式：

$E(h)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{i=1}^{D}||y_{i}(j)-h^Tx_i[\Delta \tau _j]||_2^2+\frac{\lambda }{2}||h||_2^2$

这个公式所表达的意思和前面那个一模一样，作者把卷积用循环移位后的 $x[\Delta _j]$ 与的点乘来表示，很直观很有意思。为输入训练滤波器图像的大小，表示输入了多少张图片。作者原文中训练跟踪眼球的滤波器用了很多张图片，所以值较大。而我们在实际的跟踪中只用第一帧训练，输入图片只有一张或者仿射扰动产生几张，所以也可以不要，就一个求和就行。

多通道的MCCF表示如下：

$E(h)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{i=1}^{D}||y_{i}(j)-\sum_{k=1}^{K}h^{(k)T}x_i^{(k)}[\Delta \tau _j]||_2^2+\frac{\lambda }{2}\sum_{k=1}^{K}||h^{(k)}||_2^2$

转到频域：

$E(\hat{h})=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}||\hat{y}_i-\hat{X}_i\hat h||_2^2+\frac{\lambda }{2}||\hat h||_2^2$

前面说过可以不要，后面就省去了哈。 $\hat y$ 没啥好说的，简单傅里叶变换。 $\hat X$ 是一个多维特征变换过来的大小为 $D\times KD$ 的整合矩阵： $\hat X = [diag{({\hat x_1})^{\rm{T}}},...,diag{({\hat x_K})^{\rm{T}}}]$ ， $\hat h = [\hat h_1^{\rm{T}},...,\hat h_K^{\rm{T}}]$ 是一个大小为整合矩阵。发现没有其实就是每个通道分别算一遍然后把他们拼在一起。既然这样就把这个独立的通道绑在一起，这样的绑法：

${\cal V}(a(j)) = {[conj({a_1}(j)),...,conj({a_K}(j))]^{\rm{T}}}$

conj 为复共轭，用来表明这是相关而不是卷积，有没有无所谓，可以不用管。然后从每个像素点对应计算：

$E({\cal V}(\hat h(j))) = \frac{1}{2}||\hat y(j) - {\cal V}{(\hat x(j))^{\rm{T}}}{\cal V}(\hat h(j))||_2^2 + \frac{\lambda }{2}||{\cal V}(\hat h(j))||_2^2\;\;\;\;\;j = 1,...,D$

每个像素点的解为

${\cal V}{(\hat h(j))^*} = \frac{{{\cal V}(\hat x(j))\hat y(j)}}{{{\cal V}(\hat x(j)){\cal V}{{(\hat x(j))}^{\rm{T}}} + \lambda I}}$

就这样运算量从 $O({D^3}{K^3}+ND^2K^2)$ 降到了 $O({D}{K^3}+NDK^2)$ 。是图片大小远远大于特征维度，所以运算量减少的真的不是一点点，MCCF就介绍到这吧，没写明白的地方欢迎指正。