第五章 代数系统基础

5.1 代数系统的一般概念

• 代数系统 是用代数运算方法构造系统的一门数学。所谓代数运算方法，即是在集合上建立满足一定规则的运算系统，并对该系统做定性的研究。
• 一个代数系统必须满足下面三个条件：
  • 有一个非空集合S；
  • 有一些建立在集合S上的一些运算。
  • 这些运算在集合S上是封闭的。封闭的含义是说，运算得到的元素仍属于集合S。

5.2 代数系统常见的一些性质

• 以下即将提到的性质，并不是每个代数系统都有所有的这些性质。一个代数系统，可能只有部分以下性质。
• 单个二元运算的结合律：

  (a x b) x c = a x (b x c)

• 单个二元运算的交换律：

  a x b = b x a

• 单个二元运算的分配律：

  a x (b # c) = (a x b) # (a x c)

• 单个二元运算的单位元素：

  若代数系统 (S, #) 存在一个元素 1 ∈ S，均有 1 # x = x # 1 = x，则称1为S的对于运算‘#’的单位元素。这里1不是自然数1的意思，它是一个符号，表示单位元素的意思。

• 单个二元运算的零元素：

  若代数系统 (S, #) 存在一个元素 0 ∈ S，均有 0 # x = x # 0 = 0，则称0为S的对于运算‘#’的零元素。这里0不是自然数0的意思，它是一个符号，表示零元素的意思。

• 单个二元运算的逆元素：

  一个存在单位元素，且满足结合律的代数系统(S, x), 如果对S内的元素a，存在b ∈ S，使得 a x b = b x a = 1, 则b叫做a对运算 “x” 的逆元素，记作a^-1

5.3 同构和同态

同构：

• 同构的理解： 同构的本质，就是给集合中的每个元素都多了层包装。x1包装之后成了g(x1), x2 包装之后成了g(x2)，以此类推。至于式5-1中，等式前是先运算之后再包装；等式右边是两个元素分别包装好之后，再做运算。
• 若两个代数系统同构，则这两个代数系统的特点相同，就是5.2节提到的那些性质。

同态：

• 同态的理解： 同态的条件比同构松很多，同构要求那个包装函数g(x)是一个一一对应函数。相当于不同元素，经过g(x)的包装后，都不同。而同态，可以允许两个不同的元素经过g(x)包装之后得到同一个结果。

• 满同态:
  
  - 同态的代数系统的性质关系：
  

5.4 常用的代数系统分类

第六章 群论

6.1 半群与单元半群

半群：

• 理解和记忆： 群，顾名思义一堆东西聚集在一起。因此，群 必须满足 最基础的一个性质：结合律。
• 循环半群：

  
  一个定理：循环半群一定是可换半群。(即具有交换律的半群)

单元半群：

• 单元半群应该具有半群的那些性质和定理，因为单元半群也是一个半群。

6.2 群

群的基本性质：

• 群的定义：

  群是一个具有结合律、单位元素、逆元素的代数系统。

• 可换群： 具有交换律的群叫做可换群。
• 群的阶： 若群中的元素个数是有限的，则群的阶就是群中元素的个数。若群中元素是无限的，则阶为无穷大。
• 群的性质：
  1. 群满足消去律。
  2. 一个阶大于1的群，一定没有零元素，因为零元素不存在逆元素。
  3. 除了单位元素之外，一个群一定没有幂等元素。
  4. 
• 群的同构与同态：

  群同构与群同态：
  
  一个相关的定理：
  ps： 书上没有说明，同态则也是群，只说了满同态也是群。

变换群：