伴随矩阵九大公式 - 悦读

伴随矩阵九大公式

1 公式一

AA^* = A^*A = |A|E

伴随矩阵定义式，也是判定方式

和原矩阵同阶的可交换方阵；

和原矩阵相乘结果是行列式值和单位矩阵之积。

2 公式二

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

逆矩阵的另外一种定义方式；

3 公式三

对于可逆矩阵

$A^* = |A|A^{-1}$

可以求出可逆矩阵的伴随矩阵。

4 公式四

$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A$

伴随矩阵的逆矩阵和你矩阵的伴随矩阵相等，都等于原矩阵除以其行列式的值。

5 公式五

根据伴随矩阵的构成，以及代数余子式的性质：

(A^*)^T = (A^T)^*

转置矩阵的伴随等于伴随矩阵的转置

公式五推广

$((A^{-1})^*)^T = ((A^T)^{-1})^*$

转置、伴随和求逆三者任意排列组合复合运算结果相等

6 公式六

我们知道：

$AA^* = A^* A = |A|E = \begin{bmatrix} |A| & & \\ & ...& \\ & & |A| \end{bmatrix}$

两边同时取行列式

|AA^*| = |A||A^*| = ||A|E| = |A|^n

|A||A^*| = |A|^n

$|A^*| = |A|^{n-1}$

上面的证明前提条件是A是可逆的（在约掉 |A| 时，默认了其值不为0）

但是伴随矩阵存在与否与A是否可逆无关，因此上述方法只能证明A是非奇异矩阵（也就是可逆矩阵）的情况。

继续接着： |A||A^*| = |A|^n 证明

用 $A - \lambda E$ 替换A

$|A - \lambda E| |(A - \lambda E)^*| = |A - \lambda E|^n$

存在 $\lambda > t$ 时， $A - \lambda E$ 是可逆矩阵

$|(A - \lambda E)^*| - |A - \lambda E|^{n - 1} = 0$

对于任意 $\lambda$ 使得等号左端的有限次多项式恒为0，令 $\lambda = 0$

$|A^*| = |A|^{n-1}$

因此就有公式六： $|A^*| = |A|^{n-1}$

伴随矩阵的行列式值等于原矩阵行列式值的 n-1次方；

一个矩阵行列式值若不为0，则它的伴随矩阵的行列式值必然不为0；

矩阵可逆和它的伴随可逆互为充要条件

7 公式七

(AB)^* = B^*A^*

两矩阵之积的伴随等于矩阵伴随的反向之积

如果A和B可逆：

$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|}(AB)^* = \frac{1}{|A||B|}B^*A^* = \frac{1}{|B|}B^* \frac{1}{|A|}A^* = B^{-1}A^{-1}$

如果两矩阵可逆，二者之积的逆等于两者逆矩阵的反向之积

8 公式八

$(kA)^* = k^{n-1}A^*$

给矩阵乘以常数倍后求伴随，相当于该矩阵的伴随乘以常数的n-1次方

9 公式九

$(A^*)^* = |A|^{n-2}A \ n >= 2$

一个矩阵伴随的伴随等于它行列式的n-2次方乘以它本身

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道可道，非常道；名可名，非常名。无名，天地之始，有名，万物之母。故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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