以下均为不严格的，带个人理解的语言描述
1.三角函数系正交
正交：向量点积后结果为0则说明两向量正交，比如
a
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
a(a_1,a_2,a_3)
a(a1,a2,a3)与
b
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
b (b _1,b_2,b_3)
b(b1,b2,b3)正交，
即
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
=
0
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0
a1b1+a2b2+a3b3=0==>向量点积是对应分量相乘再累加
书本P116正交定义
==>三角函数系的正交定义：比如cosx与sinx正交写为
∫
T
c
o
s
x
s
i
n
x
d
x
=
0
\int_{T} cosxsinx dx=0
∫Tcosxsinxdx=0
可以理解为cosx，sinx在不同点上相乘再累加（积分）
定理：三角函数中任意三角函数（除本身）正交
2.既然三角函数彼此正交，那么可以将三角函数看成一个向量空间
书本P116正交函数集定义
则f（x）周期（2
π
\pi
π）（满足狄利克雷条件下）可以拆分成
f
（
x
）
=
a
0
+
a
1
c
o
s
x
+
b
1
s
i
n
x
+
a
2
c
o
s
2
x
+
b
2
s
i
n
2
x
+
.
.
.
a
n
c
o
s
n
x
+
b
n
s
i
n
n
x
f（x）=a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...a_ncosnx +b_nsinnx
f（x）=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...ancosnx+bnsinnx
(理解为
a
⃗
=
a
i
⃗
+
b
j
⃗
+
c
k
⃗
\vec a=a\vec i+b\vec j+c\vec k
a=ai+bj+ck)
物理意义：一个周期函数可以拆分成周期自身整数倍的三角函数线性组合。
书上P120
注：狄利克雷条件：（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一周期内，信号是绝对可积的。
3.系数推导
方法：消项
(1).求
a
0
a_0
a0
如求
a
0
a_0
a0,即将
a
0
a_0
a0之外的全部消掉
a
0
a_0
a0是不包含三角函数的系数，而其他都包含，周期都可为2
π
\pi
π
所以只需对整体积分
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
(
a
0
+
a
1
c
o
s
x
+
b
1
s
i
n
x
+
a
2
c
o
s
2
x
+
b
2
s
i
n
2
x
+
.
.
.
a
n
c
o
s
n
x
)
d
x
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}(a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...a_ncosnx) dx
∫−ππf(x)dx=∫−ππ(a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...ancosnx)dx
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
a
0
d
x
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_0dx
∫−ππf(x)dx=∫−ππa0dx
a
0
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
a0=2π1∫−ππf(x)dx
(有的地方写
a
0
2
\frac{a_0}{2}
2a0是一样的)
(2).
同样方法求an
方法：消项，三角函数正交
如求
a
n
c
o
s
n
x
a_ncosnx
ancosnx,将f(x)整体乘cosnx，再积分
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
(
a
0
+
a
1
c
o
s
x
+
b
1
s
i
n
x
+
.
.
.
a
n
c
o
s
n
x
)
c
o
s
n
x
d
x
\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}(a_0+a_1cosx+b_1sinx+...a_ncosnx)cosnx dx
∫−ππcosnxf(x)dx=∫−ππ(a0+a1cosx+b1sinx+...ancosnx)cosnxdx
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
a
n
c
o
s
2
n
x
d
x
\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n cos^2nxdx
∫−ππcosnxf(x)dx=∫−ππancos2nxdx
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
f
(
x
)
d
x
=
a
n
∫
−
π
π
c
o
s
2
n
x
+
1
2
d
x
\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos2nx+1}{2}dx
∫−ππcosnxf(x)dx=an∫−ππ2cos2nx+1dx
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
f
(
x
)
d
x
=
a
n
π
\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx=a_n\pi
∫−ππcosnxf(x)dx=anπ
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
c
o
s
n
x
f
(
x
)
d
x
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} cosnxf(x) dx
an=π1∫−ππcosnxf(x)dx(推毕)
(3)
b
n
b_n
bn推导方法相同