01背包问题

题目描述
一个旅行者有一个最多能装m公斤的背包，现在有n中物品，每件的重量分别是W1、W2、……、Wn，每件物品的价值分别为C1、C2、……、Cn， 需要将物品放入背包中，要怎么样放才能保证背包中物品的总价值最大？

解题思路
动态规划方程

	V(i,0)=V(0,j)=0 

    V(i,j)=V(i-1,j)  						j<wi  装不下的时候 

    V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } 	j>wi  能装下的时候，选择装不装

如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式？

第一种是第i件商品没有装进去，第二种是第i件商品装进去了。
没有装进去,就是V(i-1,j);如果装进去第i件商品，是V(i-1,j-w(i))
由于最优性原理,V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态，后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较，得出最优。

具体代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int V[100][100];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值

int max(int a,int b){
   if(a>=b)
       return a;
   else return b;
}
 
int KnapSack(int n,int weight[],int value[],int C){
    
	//填表,其中第一行和第一列全为0,即 V(i,0)=V(0,j)=0； 
    for(int i=0;i<=n;i++)
        V[i][0]=0;
    for(int j=0;j<=C;j++)
        V[0][j]=0;
    //用到的矩阵部分V[n][C] ,下面输出中并不输出 第1行和第1列 
    
	printf("编号 重量 价值  ");  //菜单栏 1 
	for(int i=1;i<=C;i++)
		printf(" %2d ",i);
	printf("\n\n");
		    
    for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%2d   %2d   %2d     ",i,weight[i-1],value[i-1]);  //菜单栏 2 (weight与value都是从0开始存的，所以开始i=1时对应0的位置)
		
        for(int j=1;j<=C;j++){
            if(j<weight[i-1]){  //包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的
				V[i][j]=V[i-1][j];
				printf("%2d  ",V[i][j]);
			}
            else{  //还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);		
				printf("%2d  ",V[i][j]);
			}
		}
		printf("\n");
	}
	
        return V[n][C];
        
}

void Judge(int C,int n,int weight[]){	//判断哪些物品被选中		
    int j=C;
    int *state=(int *)malloc(n*sizeof(int));
    
    for(int i=n;i>=1;i--){
	    if(V[i][j]>V[i-1][j]){  //如果装了就标记，然后减去相应容量 
				state[i]=1;
				j=j-weight[i-1];
	        }
	    else
	        state[i]=0;
    }
    printf("选中的物品是:");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(state[i]==1)
        	printf("%d ",i);
    printf("\n");
}
 
int main(){

    int n;        //物品数量 
    int Capacity;//背包最大容量
    
    printf("请输入背包的最大容量:");
    scanf("%d",&Capacity);
    
    printf("输入物品数:");
    scanf("%d",&n);
    
    int *weight=(int *)malloc(n*sizeof(int));//物品的重量
    int *value=(int *)malloc(n*sizeof(int)); //物品的价值
    
    
    printf("请分别输入物品的重量:");
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&weight[i]);
 
    printf("请分别输入物品的价值:");
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&value[i]);
 
    int s=KnapSack(n,weight,value,Capacity);  //获得的最大价值
    
    Judge(Capacity,n,weight);  //判断那些物品被选择 
 
    printf("最大物品价值为: ");
    printf("%d\n",s);
   
    return 0;
}