第0章 复习与引申
第1章 线性空间与线性变换
第2章 内积空间和等距变换
第3章 矩阵的相似标准形
第4章 Hermite二次型
第5章 范数和矩阵函数
第6章 广义逆矩阵

第3章 矩阵的相似标准形

1 特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量的定义：设$A$是$n$阶方阵，${\lambda }_0$是数，若存在$n$维列向量$\eta$，使得$\eta \ne \theta$，且$A\eta ={\lambda }_0\eta$，则称${\lambda }_0$是$A$的特征值，$\eta$是$A$的属于特征值${\lambda }_0$的特征向量。

矩阵的相似对角阵存在定理：设$A$是$n$阶方阵，则$A$相似于对角阵的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关向量。

**线性变换的特征值和特征向量的定义：**设$f$是线性空间$V$上的线性变换，设${\lambda }_0\in C$，若存在$\eta \in V$使得$\theta \ne \eta \in V$且$f(\eta )={\lambda }_0\eta$，则称${\lambda }_0$是线性变换$f$的特征值，$\eta$是相应于${\lambda }_0$的特征向量。

线性变换的可对角化定理：设$V$是$n$维线性空间，$f$是$V$上的线性变换，则存在$V$的基使得$f$的矩阵是对角阵当且仅当$f$有$n$个线性无关的特征向量。

线性变换特征值和特征向量的计算：设$f$在$V$的基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$下，若${\lambda }_0\in C,\eta \in V$在基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$下的坐标是$x_0$，则$f(\eta )$在基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$下的坐标为$A{x}_0$，所以：
$$f(\eta )={\lambda }_0\eta ⟺A{x}_0={\lambda }_0{x}_0$$
​ 即：$\eta$是$f$属于特征值${\lambda }_0$的特征向量当且仅当$x_0$是$A$的属于特征值${\lambda }_0$的特征向量。（$\eta =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)x_0$）

矩阵相似定理：若$A,B\in C^{n\times n}$是相似的，则$|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$；（逆命题不成立，可定义线性变换的特征多项式）。

特征多项式

特征多项式的定义：设$f$在$V$的基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$下的矩阵为$A$，则称$|\lambda I-A|$为$f$的特征多项式。（与基的选取无关，因为不同基下的矩阵相似，而相似矩阵的特征多项式相等）

$k$阶主子式的定义：设矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n},1\le i_1\le i_2\le \cdots \le i_k\le n$，则$A$的第$i_1,i_2,\cdots ,i_k$行、第$i_1,i_2,\cdots ,i_k$列交叉处的元素构成的$k$阶子式称为$A$的$k$阶主子式。

$k$阶子式（$(C_n^k{)}^2$个），$k$阶主子式（$C_n^k$个），$k$阶顺序主子式（1个），

特征多项式的定理：设矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，则$|\lambda I-A|={\lambda }^n+b_1{\lambda }^{n-1}+b_2{\lambda }^{n-2}+\cdots +b_k{\lambda }^{n-k}+\cdots +b_{n-1}\lambda +b_n$，其中$b_j=(-1{)}^j\sum (A的所有j阶主子式)$，特别的，$b_1=-{\sum }_i^n{a}_{ii},b_n=(-1{)}^n|A|$。

矩阵的迹的定义：设矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，称${\sum }_i^n{a}_{ii}$为矩阵的迹，记为$tr(A)$。

1. 若$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的特征值为${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，则$tr(A)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i，|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$。
2. 若$A,B$相似，则$tr(A)=tr(B),|A|=|B|$。（$\alpha {\beta }^H$的特征值计算，）

化零多项式的定义：设$f(x)$是多项式，若$f(A)=0$，则$A$的特征值均是$f(x)=0$的根。

Hamilton-Cayley定义

Schur引理：对于$\forall A\in C^{n\times n}$，存在酉矩阵$U$使得$U^{H}AU$是上三角矩阵。

定理：设$A\in F^{n\times n},C(\lambda )=|\lambda I-A|$，则$C(A)=0$。

定理：设$f\in Hom(V,V),C(\lambda )$是$f$的特征多项式，则$C(f)=O$。

例题：对于矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 8\\ 3& 1& 6\\ -2& 0& -5\end{array}\right)$，求$A^{100}-2A^{50}$。

1. 计算出矩阵$A$的特征多项式$C(\lambda )=|\lambda I-A|=(\lambda -1)(\lambda +1{)}^2$；（特征值为1，-1二重）

2. 构造函数$f(\lambda )={\lambda }^{100}-2{\lambda }^{50}$；

3. 对函数做带余除法：$f(\lambda )=C(\lambda )q(\lambda )+a{\lambda }^2+b\lambda +c$;（$f(A)=C(A)q(A)+a{A}^2+bA+c=a{A}^2+bA+c$）

4. 因此可以将特征值带入，得：
   $$\begin{gathered} a+b+c=-1 \\ a-b+c=-1 \\ 2a-b=0(二重根) \end{gathered}$$

矩阵的最小多项式

最小多项式的定义：矩阵$A$的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为$A$的最小多项式。

最小多项式的性质：

1. 若$m(x),\phi (x)$分别是矩阵$A$的最小多项式和化零多项式，则$m(x)$可以整除$\phi (x)$，记为$m(x)|\phi (x)$；
2. 任意矩阵的最小多项式是唯一的；
3. 如果矩阵$A,B$相似，则$A,B$有相同的最小多项式。

线性变换的最小多项式：设线性变换$f\in V$在$V$的一组基下的矩阵为$A$，$A$的最小多项式称为$f$的最小多项式。即线性变换$f$的次数最低的、最高次项系数为1的化零多项式称为$f$的最小多项式。

最小多项式定理：设$m(x),C(x)$分别是矩阵$A$的最小多项式和特征多项式，则$m(x)|C(x)$，并且对于${\lambda }_0\in C,m({\lambda }_0)=0⟺C(\lambda )=0$。（求最小多项式：先求特征多项式，找出满足矩阵A的化零多项式，最小阶数的化零多项式为最小多项式）

2 可对角化问题

1. 矩阵$A_{n\times n}$相似于对角阵$⟺$$A$有$n$个线性无关的特征向量；
2. 矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关
3. 若${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s$是矩阵$A$的互不相同的特征值，${\eta }_{1i},{\eta }_{2i},\cdots ,{\eta }_{t_{i}i}$是$A$相应于特征值${\lambda }_i$的线性无关的特征向量，则${\eta }_{11},{\eta }_{21},\cdots ,{\eta }_{t_{1}1},{\eta }_{12},{\eta }_{22},\cdots ,{\eta }_{t_{2}2},\cdots ,{\eta }_{1s},{\eta }_{2s},\cdots ,{\eta }_{t_{s}s}$线性无关。（即判断大向量组的个数是否为n）

线性变换的可对角化的定理：设$V$是$n$维线性空间，$f\in Hom(V,V)$，则：

1. $f$可对角化当且仅当$f$有$n$个线性无关的特征向量；
2. $f$的属于不同特征值的特征向量线性无关；
3. 若${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s$是$f$互不相同的特征值，${\eta }_{1i},{\eta }_{2i},\cdots ,{\eta }_{t_{i}i}$是$f$相应于特征值${\lambda }_i$的线性无关的特征向量，则${\eta }_{11},{\eta }_{21},\cdots ,{\eta }_{t_{1}1},{\eta }_{12},{\eta }_{22},\cdots ,{\eta }_{t_{2}2},\cdots ,{\eta }_{1s},{\eta }_{2s},\cdots ,{\eta }_{t_{s}s}$线性无关。（即判断大向量组的个数是否为n）

特征子空间

特征子空间的定义：设$f\in Hom(V,V)$，${\lambda }_0$是$f$的特征值，称 V λ 0 = { η ∈ V ∣ f ( η ) = λ 0 η } V_{\lambda_0}=\{\eta\in V|f(\eta)=\lambda_0\eta\} Vλ0​​={η∈V∣f(η)=λ0​η}为$f$相应于特征值${\lambda }_0$的特征子空间。（即属于${\lambda }_0$的特征向量的集合）

1. $f$在相应于特征值${\lambda }_0$的线性无关的特征相关个数为$\dim V_{{\lambda }_0}$；
2. 设${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s$为$f$的相异特征值，则和$V_{{\lambda }_1}+V_{{\lambda }_2}+\cdots +V_{{\lambda }_s}$是直和；
3. 设$f\in Hom(V,V)$的特征多项式是$C(\lambda )={\prod }_{i=1}^s(\lambda -{\lambda }_i{)}^{c_i}$，则$\dim V_{{\lambda }_i}\le c_i$。（即特征值的代数重数大于等于特征值的几何重数）

可对角化等价条件：设$f\in Hom(V,V)$的特征多项式是$C(\lambda )={\prod }_{i=1}^s(\lambda -{\lambda }_i{)}^{c_i}$，

1. $f$是可对角化的；
2. $\dim V_{{\lambda }_1}+\dim V_{{\lambda }_2}+\cdots +\dim V_{{\lambda }_s}=n$;
3. $\forall i,\dim V_{{\lambda }_i}=c_i$;
4. $V=V_{{\lambda }_1}\oplus V_{{\lambda }_2}\oplus \cdots \oplus V_{{\lambda }_s}$

最小多项式与可对角化

若$n$阶矩阵$M_i$满足$M_1,M_2,\cdots ,M_s=O$，则${\sum }_{i=1}^{s}r(M_i)\le (s-1)n$。

可对角化的条件：$n$阶矩阵$A$相似于对角阵当且仅当$A$的最小多项式无重根。

3 若当标准形

Jordan型矩阵定义：

1. 形如$\left(\begin{array}{cccc}a& 1& & \\ & a& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & a\end{array}\right)$的矩阵称为Jordan块；
2. 形如$J=\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s\end{array}\right)$，其中$J_i$是Jordan块的矩阵称为$Jordan$型矩阵。

Jordan标准型的定义：若矩阵$A$与$J$相似，且$J$是若当型矩阵，则称$J$是$A$的Jordan标准型。（Jordan标准型必存在）。

Jordan标准型的唯一性：除了相差Jordan块的次序外，每个矩阵的Jordan标准形是唯一的。

$r(J-{\lambda }_{0}I{)}^{k-1}-r(J-{\lambda }_{0}I{)}^k$为$J$中以${\lambda }_0$为主对角元且阶数$\ge k$的Jordan块的块数。

求矩阵A的若当标准形：

1. 求出矩阵A的特征多项式，并计算特征值
2. 找出所有可能的Jordan标准形
3. 计算$r(A-{\lambda }_i)$以排除不满足条件的Jordan标准形,

若$M=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$，则矩阵$M,A,B$的最小多项式间有关系：$m_M(\lambda )=[m_A(\lambda ),m_B(\lambda )]$(最小公倍式)。

设矩阵$A$的最小多项式是$m(\lambda )={\prod }_{i=1}^s(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$，则$r_i$即是$A$的Jordan标准形中以${\lambda }_i$为主对角元的Jordan块的最高阶数。当$A$相似于对角阵时$⟺$$A$的最小多项式无重根。

$A,B$相似的充分必要条件是矩阵$A,B$有相同的Jordan标准形。

参考文献：工程矩阵理论，张明淳著