列生成（Column Generation）算法

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列生成算法的背景

列生成算法通常被应用于求解大规模整数规划问题的分支定价算法(branch-and-price algorithm)中，其理论基础由Danzig等于1960年提出。当求解一个最小化问题时，列生成算法主要的作用是为每个搜索树节点找到一个较优的下界(lower bound)。本质上而言，列生成算法就是单纯形法的一种形式，是用来求解线性规划问题的。

列生成算法已被应用于求解如下著名的NP-hard优化问题：机组人员调度问题(Crew Assignment Problem)、切割问题(Cutting Stock Problem)、车辆路径问题(Vehicle Routing Problem)、单资源工厂选址问题(The single facility location problem )等。

列生成算法的基本思想

在某些线性优化问题的模型中,约束的数目有限，但是变量的数目随着问题规模的增长会爆炸式的增长，因此不能把所有的变量都显性的在模型中表达出来。在用单纯形法求解这类线性规划问题时，基变量(basic variable)只与约束的个数相关，每次迭代只会有一个新的非基变量(non-basic variable)进基，因此，在整个求解过程中其实只有很少一部分变量会被涉及到。

简单来说，列生成算法通过求解子问题(pricing problem)，来找到可以进基的非基变量，该非基变量在模型中并没有显性的写出来（可以看成是生成了一个变量，每个变量其实等价于一列，所以该方法被称为列生成算法）。如果找不到一个可以进基的非基变量，那么就意味着所有的非基变量的检验数（reduced cost）都满足最优解的条件，也就是说，该线性规划的最优解已被找到，即使很多变量没有在模型中写出来。

列生成算法实例——板材切割问题（Cutting Stock Problem）

问题描述

木材厂卖木材，某顾客需要25根3英尺的木材、20根5英尺的木材和15根9英尺的木材，木材厂通过切17英尺的木材来满足顾客的需求。为了尽量减少木材的浪费，可以用线性规划方法来实现这个目标，同时用列生成来解这个线性规划问题。

切割方案

切割过程中，木材厂要确定木材的切割方案（cutting combination）。举例说明，一根17英尺的木材可以切成3根5英尺的，这种切割方案将造成2英尺木材的浪费，实际过程中有很多种可能的切割方案，但是不合理的切割方案不需要被考虑。例如，只把17英尺木材切成一根9英尺，然后扔掉8英尺的方案明显不合理，因为我们可以把它切成一根9英尺、5英尺和3英尺的木材。总的来说，任何一种切割方案浪费木材量超过3英尺，我们都认为是不合理的，因为可以用浪费的木材去获得一根或多根3英尺的木材。不合理的切割方案不会在最优解中出现，因此不需要考虑。根据以上规则，我们可以枚举出以下六种切割方案。