复高斯分布特性

复高斯分布

complex Gaussian distribution - Everything2.coms

随机复数z=x+iy，它的实部为x，虚部为y，x和y符合独立的二维高斯分布，它们的均值分别为 m_x 和 m_y ，它们的方差均为 $\sigma^2$ ，则z的均值符合 $m_z=m_x+m_y$ ，z的方差为

$\sigma^2=\mathbb{E}[(x-m_x)^2]=\mathbb{E}[(y-m_y)^2]=(1/2)\mathbb{E}[|z-m_z|^2]$

变量(x,y)的联合概率密度分布表示为

$p(x,y)=(2\pi\sigma^2)^{-1}\exp(-((x-m_x)^2+(y-m_y)^2)/(2\sigma^2)).$

由于z=x+iy，z的概率密度分布表示为

$p(z)=(2\pi\sigma^2)^{-1} \exp(-|z-m_z|^2/(2\sigma^2)).$

这是复值随机变量的概率密度函数的首选表示。在计算涉及此类随机变量的期望时，请记住将实部和虚部 x 和 y 分开，而不是直接对复数 z 进行积分。这也适用于下面的多维情况。

上述定义可以很容易地扩展到多维情况，用一个二维实高斯变量来表示d维复高斯变量的实部和虚部。一个d维复高斯变量z=x+iy（一个列向量）的概率密度函数为

$p(\mathbf{z})=(2\pi)^{-d} (\det(\Sigma))^{-1} \exp(-(\mathbf{z}-m_z)^H\Sigma^{-1}(\mathbf{z}-m_z)/2),$

其中， $m_z=\mathbb{E}[\mathbf{Z}]$ 是随机变量 $\mathbf{z}$ 的均值， $\Sigma=\mathbb{E}[(\mathbf{z}-m_z)(\mathbf{z}-m_z)^H]$ 是它的协方差矩阵。上式的形式与d维实高斯很像，可表示为

$p(\mathbf{x})=(2\pi)^{-d/2 }(\det(\Sigma))^{-1/2} \exp(-(\mathbf{x}-m_x)^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-m_x)/2).$

以上，我们已经强制要求复数高斯变量 z 的实部和虚部有相同的方差但不相关，在这种情况下我们称 z 是圆对称的，并且上述 $p(\mathbf{z})$ 的公式是适用的。如果z是d维的复高斯变量，圆对称性就更复杂了，但基本上就是 $p(\mathbf{z})$ 可以如上表示。圆形对称性赋予复高斯变量一些理想的属性。

首先，假设 $\mathbf{z}$ 是一个零均值的d维复高斯变量（即 m_z=0 ），那么它的分布是旋转不变的，或者 $e^{i\theta \mathbf{z}}$ 对于任意实数θ具有与z相同的概率密度函数。这可能是为什么它被称为“圆对称”的原因。

复高斯分布特性

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