高等数学指数清单（二）

第五章 多元函数微分学

ch 5.1 偏导数和全微分

偏导数定义

以 $f_x^{{}^{\prime }}$ 在点 $p(x_0,y_0)$ 为例

$f_x^{{}^{\prime }}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

全微分

全微分定义的的四种等价形式

以函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分为例

其中 $A=f_x^{{}^{\prime }},B=f_y^{{}^{\prime }}$

1. 基本定义

   $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y$

2. 极限形式（最常用，只掌握这个可解大部分题目）

   $$\begin{gathered} \underset{\Delta x\to 0 \\ \Delta y\to 0}{\lim }\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[A\Delta x+B\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}} \end{gathered}$$

3. 改写 $\Delta x,\Delta y$ 为增量形式

   $\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho )$

4. 改写为增量的极限形式

   $$\begin{gathered} \underset{x\to x_0 \\ y\to y_0}{\lim }\frac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-[A(x-x_0)+B(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}} \end{gathered}$$

偏导连续性、偏导存在性、函数连续性、函数可微性的关系

两个条件判定 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的可微性

1. $f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$ 是否都存在

2. 使用表达式
   $$\begin{gathered} \underset{\Delta x\to 0 \\ \Delta y\to 0}{\lim }\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[A\Delta x+B\Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0 \end{gathered}$$
   对于任意的一组常数 $A,B$，使得此式子成立

   则原式可微

隐函数

隐函数存在定理

$z=F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处存在隐函数

0. $F(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续

1. $F(x_0,y_0)=0$

2. $F_x^{{}^{\prime }},F_y^{{}^{\prime }}$ 至少一个不为 $0$

隐函数求导公式

以 $F(x,y,z)=0,z=z(x,y)$ 为例

$$\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_z^{{}^{\prime }}},\frac{\partial F}{\partial y}=-\frac{F_y^{{}^{\prime }}}{F_z^{{}^{\prime }}}$$

ch 5.2 多元微分的极值

记 $f(x,y)=0$

极值点的确定

令 $f_x=0,f_y=0$，得到的点是可能的极值点

无条件极值

$A=f_{xx},C=f_{yy},B=f_{xy}$

1. $AC-B^2>0$，有极值 $\{\begin{array}{l}A>0，极大值\\ A<0，极小值\end{array}$

2. $AC-B^2<0$，无极值

3. $AC-B^2=0$，不能确定

有条件极值（拉格朗日乘数法）

求 $f(x,y)$ 在约束条件 $\varphi (x,y)=0$ 下的极值

构造 $F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$

解方程组 $\{\begin{array}{l}{F}_x=f_x(x,y)+\lambda {\varphi }_x(x,y)=0\\ F_y=f_y(x,y)+\lambda {\varphi }_y(x,y)=0\\ F_{\lambda }={\varphi }_x(x,y)=0\end{array}$

对称性与奇偶性

1. $\mathbf{D}$ 关于 $y$ 轴对称
   $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2\underset{D_{x\ge 0}}{\iint }f(x,y)d\sigma f(-x,y)=f(x,y),f(x,y)关于x是偶函数\\ 0f(-x,y)=-f(x,y),f(x,y)关于x是奇函数\end{array}$$

2. $\mathbf{D}$ 关于 $x$ 轴对称
   $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2\underset{D_{y\ge 0}}{\iint }f(x,y)d\sigma f(x,-y)=f(x,y),f(x,y)关于y是偶函数\\ 0f(x,-y)=-f(x,y),f(x,y)关于y是奇函数\end{array}$$

轮换对称性

一元积分中”积分与积分变量的选取无关“在二元积分的推广

$\mathbf{D}$ 关于直线 $y=x$ 对称
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)d\sigma$$

第七章 无穷级数

常数项级数

积分判别法

若 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上满足

1. 单调
2. 递减
3. 非负

则扩展 $a_n,n\in N^{+}$ 的定义域到全体实数，即 $f(x),x\in R$

有 $\sum _{i=1}^n{a}_n$ 和 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ 同敛散性

交错级数的敛散性判定：莱布尼茨准则

对于交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$

1. $u_n$ 单调递减
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

幂级数

幂级数的收敛半径和收敛域

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ 或 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则 $R$ 是收敛半径（以 $x_0$ 为中心以 $R$ 为半径），代表收敛区间 $(-R+x_0,R+x_0)$，不管端点即 $-R,R$ 处是否收敛

求端点处的收敛域：即代入求两个常数项级数的收敛域

缺项幂级数的收敛域

若求 $\sum\limits^n_{n \to {\infty}} a_nx^{{2n}，\sum\limits}n_{n \to {\infty}} b_nx^{2n+1} $ （即只有奇数或偶数次幂）的收敛域

实际求得的是 $x^2$ 的收敛域

故实际的收敛域 $R$ 应取 $\sqrt{\frac{1}{R}}$

幂级数展开时，常用的泰勒展开式

1. $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots \dots +x^n+\dots \dots =\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n(-1<x<1)$
2. $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots \dots +(-1{)}^{n-1}{x}^n+\dots \dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n(-1<x<1)$
3. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots \dots +\frac{x^n}{n!}+\dots \dots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}(-\infty <x<+\infty )$
4. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots \dots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots \dots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}(-\infty <x<+\infty )$
5. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots \dots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+\dots \dots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}(-\infty <x<+\infty )$
6. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots \dots +\frac{(-1{)}^{(n-1)}{x}^n}{n}+\dots \dots =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{(n-1)}{x}^n}{n}(-1<x\le 1)$
7. $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}+\dots \dots +\frac{\alpha (\alpha -1)\dots \dots (a-n+1)}{n!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\alpha (\alpha -1)\dots \dots (\alpha -n+1)}{n!}(-1<x<1)，-1和1是否成立由\alpha 确定$

幂级数常见展开式补充

常用于幂级数求和

$$\arctan x\sim \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$$

傅里叶级数

傅里叶级数展开式

$$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{i=1}^n(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

只记一般情况下的展开，其余情况的展开同理

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

狄利克雷收敛定理

1. $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上连续或者有限个第一类间断点
2. 有限个严格极值点

则 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上收敛于

1. 在 $f(x)$ 连续点，收敛于 $f(x)$
2. 在 $f(x)$ 间断点，收敛于 $f(x)$ 左右极限的均值
3. 在 $f(x)$ 端点，收敛于 $f(x)$ 左右端点的均值

第八章 空间向量

向量积

定义

$|\text{a}\times \text{b}|=|\text{a}||\text{b}|\sin \alpha$

代数计算

若两向量 $\text{a}=[{\text{a}}_1,{\text{b}}_1,{\text{c}}_1]$，$\text{b}=[{\text{a}}_2,{\text{b}}_2,{\text{c}}_2]$，则写作 $\left|\begin{array}{cccccc}{\text{a}}_1& {\text{b}}_1& {\text{c}}_1& {\text{a}}_1& {\text{b}}_1& {\text{c}}_1\\ {\text{a}}_2& {\text{b}}_2& {\text{c}}_2& {\text{a}}_2& {\text{b}}_2& {\text{c}}_2\end{array}\right|$，去掉首尾两列，分别计算行列式 ${\text{a}}_3=\left|\begin{array}{cc}{\text{b}}_1& {\text{c}}_2\\ {\text{b}}_2& {\text{c}}_2\end{array}\right|$，${\text{b}}_3=\left|\begin{array}{cc}{\text{c}}_1& {\text{a}}_1\\ {\text{c}}_2& {\text{a}}_2\end{array}\right|$，${\text{c}}_3=\left|\begin{array}{cc}{\text{a}}_1& {\text{b}}_1\\ {\text{a}}_2& {\text{b}}_2\end{array}\right|$，即 $[{\text{a}}_3,{\text{b}}_3,{\text{c}}_3]$ 就是运算结果

几何应用

求一个同时垂直于向量 $\text{a},\text{b}$ 的向量

混合积

定义

$(\text{abc})=\text{a}\times \text{b}\cdot \text{c}$

是一个数

运算规律

符号变化

• ”轮换对称“

  $\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}$ 顺时针方向排列所得的混合积等价

• 交换变号

  任意交换 $\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}$ 中二者的位置，绝对值不变符号取反

  $(\text{abc})=-((\text{acb}))$

代数计算

$$(\text{abc})=\left|\begin{array}{ccc}{\text{a}}_x& {\text{a}}_y& {\text{a}}_z\\ {\text{b}}_x& {\text{b}}_y& {\text{b}}_z\\ {\text{c}}_x& {\text{c}}_y& {\text{c}}_z\end{array}\right|$$

几何应用

$(\textbf{abc}) =0 \iff $ 三向量共面

方向导数

定义式

极限形式

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$

计算

若 $f(x)=z(x,y)$ 可微

则
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta$$

方向导数和梯度

当 $l$ 与梯度方向相同时，有最大值为梯度的模

即
m a x { l } = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 max\{l\} = \sqrt{({\frac{\partial f}{\partial x}})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2} max{l}=(∂x∂f​)2+(∂y∂f​)2 ​

第九章 三重积分、线面积分

三重积分

柱坐标

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$

$dV=rdrd\theta dz$

球坐标

$\{\begin{array}{l}x=r\sin \varphi \cos \theta \\ y=r\sin \varphi \sin \theta \\ z=r\cos \varphi \end{array}$

$dV=r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$

第一类积分

关于长度和面积的积分，不管方向，积分区间由小到大

对弧长的线积分

$\underset{L}{\int }f(x,y)ds$

转化为坐标轴上的积分求解

参数方程

$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$

$$\underset{L}{\int }f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{{x^{{}^{\prime }}}^2(t)+{y^{{}^{\prime }}}^2}dt$$

极坐标

$\rho =\rho (\theta )$

$$\underset{L}{\int }f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\rho \cos (\theta ),\rho \sin (\theta ))\sqrt{p^2(\theta )+{{\rho (\theta )}^{{}^{\prime }}}^2}d\theta$$

直角坐标

直角坐标方程

$y=y(x)$

$$\underset{L}{\int }f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+{y^{{}^{\prime }}}^2}dx$$

对面积的面积分

$$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS$$

转化到投影面上的二重积分求解

1. 向某个平面投影

   例如向 $XoY$ 面投影，则曲面 $\sum$ 方程写作直角坐标方程：$z=z(x,y),(x,y)\in D$

2. 计算偏导数，利用公式积分
   $$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d\sigma$$

$\mathbf{D}$ 可以看作 $\sum$ 在 $XoY$ 面上的投影

第二类积分

对坐标的线积分

$$\underset{L}{\int }P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

直角坐标法

将变量 $x,y$ 一个用另一个表示

如视 $x$ 为参数，视 $y$ 为参数同理

$\{\begin{array}{l}x=x\\ y=y(x)\end{array}$
$$\underset{L}{\int }P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_c^d[p(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{{}^{\prime }}x]$$

参数方程法

写出参数方程， 化定积分

$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$
$$\underset{L}{\int }P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }[P(x(t),y(t))x^{{}^{\prime }}(t)+[Q(x(t),y(t))y^{{}^{\prime }}(t)]dt$$

积分与路径无关

单连通区域内：$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

进而可以

• 改变积分路径
• 利用原函数

格林公式

$$\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$$

斯托克斯公式

$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ Q& R\end{array}\right|dydz-\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& R\end{array}\right|dzdx+\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|dxdy$$

对坐标的面积分

直角坐标法

曲面 $\sum$ 方程写作直角坐标方程：$z=z(x,y),(x,y)\in \mathbf{D}$

直角坐标积分
$$\underset{\sum }{\iint }R(x,y,z)dxdy=\pm \underset{D}{\iint }R(x,y,z(x,y))d\sigma$$

高斯公式

外侧面积 $\to$ 关于体积的三重积分
$$\underset{\sum 外侧}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dV$$

梯度、散度、旋度公式

梯度

梯度是一个向量

设有方程 $u=f(x,y,z)$

则有在点 P { x , y , z } P\{x,y,z\} P{x,y,z} 的梯度
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \grad at position 2: \̲g̲r̲a̲d̲ ̲f =\frac{\parti…

散度

设有向量场 A = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z } A= \{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z\} A={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z}

有散度计算公式

$$÷A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

旋度

设有向量场 A ( x , y , z ) = { P , Q , R } A(x,y,z) = \{P,Q,R\} A(x,y,z)={P,Q,R}

有旋度计算公式

$$rotA=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=i\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ Q& R\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& R\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|$$