题目

  eg：设$X_1,X_2...X_n$是来自总体$X$的一个样本，$X\sim B(m,p)$，其中$m$已知，试求参数$p$的最大似然估计(答案在文末)。

最大似然估计

  对于点估计，有矩估计法和最大似然估计法。

  矩估计法，其基于大数定律，求解未知参数$\theta$的时候，是一种简单的替换的思想（样本矩估计总体矩）。
  最大似然估计法，基于极大似然原理（概率大的事件在一次观测中更容易发生）。求解未知参数$\theta$的时候，是当它作为估计值时，使样本出现的概率（样本出现的可能性）最大。

  矩估计可以使用在总体分布未知的情况，但最大似然估计必须要知道总体的分布。因此，矩估计具有简单的优点，但是当已知分布的时候，使用矩估计就会放弃这一已知信息，从而对于我们估计出的值造成误差，为了充分利用已知的信息，我们需要使用最大似然估计。

使用最大似然估计的解题步骤

第一种情况：离散型

① 选择样本/样本值（准备工作）

  从总体中选取样本或者样本值，在这里我们选择样本值$x_1,x_2...x_n$。
  因为我们知道总体$X$的分布，因此，对于从$x_1$到$x_n$中的任意一个值，都可以代入$X$的分布中，求出当$X$等于该值的概率，将这些概率分别记成$P_1,P_2...P_n$，这些概率，都是包含了$i(x_i,i=1,2...n)$和未知参数$\theta$的函数。这就为我们构造似然函数做了准备（在做题时可省略这一步，心中有数即可）。

② 构造似然函数（重点）

  准备工作结束，我们在准备中已经得到了 P 1 , P 2 . . . P n P_{1},P_{2}...P_