初等函数的 n 阶导数公式是微积分中的一个重要内容，在解决高阶导数问题时非常有用。以下是一些常见初等函数的 n 阶导数公式及其推导过程。
1. 幂函数 f ( x ) = x k f(x) = x^k f(x)=xk
公式
f ( n ) ( x ) = k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ ( k − n + 1 ) x k − n f^{(n)}(x) = k(k-1)(k-2) \cdots (k-n+1) x^{k-n} f(n)(x)=k(k−1)(k−2)⋯(k−n+1)xk−n
推导过程
- 对于 f ( x ) = x k f(x) = x_{k} f(x)=xk ，其一阶导数为 f ′ ( x ) = k x k − 1 f'(x) = k x^ {k-1} f′(x)=kxk−1。
- 二阶导数为 f ′ ′ ( x ) = k ( k − 1 ) x k − 2 f''(x) = k(k-1) x^{k-2} f′′(x)=k(k−1)xk−2。
- 继续推导，三阶导数为 f ′ ′ ′ ( x ) = k ( k − 1 ) ( k − 2 ) x k − 3 f'''(x) = k(k-1)(k-2) x^{k-3} f′′′(x)=k(k−1)(k−2)xk−3。
- 由此可以看出，n 阶导数的形式为 f ( n ) ( x ) = k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ ( k − n + 1 ) x k − n f^{(n)}(x) = k(k-1)(k-2) \cdots (k-n+1) x^{k-n} f(n)(x)=k(k−1)(k−2)⋯(k−n+1)xk−n 。
2. 指数函数 f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex
公式
f ( n ) ( x ) = e x f^{(n)}(x) = e^x f(n)(x)=ex
推导过程
- 对于 f ( x ) = e x f(x) = e^{x} f(x)=ex，其一阶导数为 f ′ ( x ) = e x f'(x) = e^x f′(x)=ex 。
- 二阶导数为 f ′ ′ ( x ) = e x f''(x) = e^x f′′(x)=ex。
- 继续推导，三阶导数为 f ′ ′ ′ ( x ) = e x f'''(x) = e^x f′′′(x)=ex。
- 由此可以看出，无论 n 是多少，n 阶导数都是 e x e^x ex 。
3. 三角函数 f ( x ) = sin x f(x) = \sin x f(x)=sinx 和 f ( x ) = cos x f(x) = \cos x f(x)=cosx
公式
sin
(
n
)
(
x
)
=
sin
(
x
+
n
π
2
)
\sin^{(n)}(x) = \sin \left( x + \frac{n\pi}{2} \right)
sin(n)(x)=sin(x+2nπ)
cos
(
n
)
(
x
)
=
cos
(
x
+
n
π
2
)
\cos^{(n)}(x) = \cos \left( x + \frac{n\pi}{2} \right)
cos(n)(x)=cos(x+2nπ)
推导过程
- 对于 f ( x ) = sin x f(x) = \sin x f(x)=sinx，其一阶导数为 f ′ ( x ) = cos x f'(x) = \cos x f′(x)=cosx。
- 二阶导数为 f ′ ′ ( x ) = − sin x f''(x) = -\sin x f′′(x)=−sinx。
- 三阶导数为 f ′ ′ ′ ( x ) = − cos x f'''(x) = -\cos x f′′′(x)=−cosx。
- 四阶导数为 f ( 4 ) ( x ) = sin x f^{(4)}(x) = \sin x f(4)(x)=sinx。
- 由此可以看出，每四阶导数会回到原函数，且导数的符号和相位会周期性变化。
- 对于 f ( x ) = cos x f(x) = \cos x f(x)=cosx，推导过程类似，每四阶导数会回到原函数，且导数的符号和相位会周期性变化。
4. 对数函数 f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f(x)=lnx
公式
f ( n ) ( x ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n} f(n)(x)=xn(−1)n−1(n−1)!
推导过程
- 对于 f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f(x)=lnx，其一阶导数为 ( f’(x) = \frac{1}{x} )。
- 二阶导数为 f ′ ′ ( x ) = − 1 x 2 f''(x) = -\frac{1}{x^2} f′′(x)=−x21。
- 三阶导数为 f ′ ′ ′ ( x ) = 2 x 3 f'''(x) = \frac{2}{x^3} f′′′(x)=x32。
- 继续推导，四阶导数为 f ( 4 ) ( x ) = − 6 x 4 f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} f(4)(x)=−x46。
- 由此可以看出，n 阶导数的形式为 f ( n ) ( x ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n} f(n)(x)=xn(−1)n−1(n−1)!。