1. 加法法则

定理：如果 ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$ 和 ${\lim }_{x\to c}g(x)=M$，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)+g(x)]=L+M$$

证明：

• 根据极限的定义，对于任意 $ϵ>0$，存在 ${\delta }_1>0$ 使得当 $0<|x-c|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-L|<\frac{ϵ}{2}$。
• 同样，存在 ${\delta }_2>0$ 使得当 $0<|x-c|<{\delta }_2$ 时，$|g(x)-M|<\frac{ϵ}{2}$。
• 取 $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$，则当 $0<|x-c|<\delta$ 时，
  $$|f(x)+g(x)-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$
• 因此，${\lim }_{x\to c}[f(x)+g(x)]=L+M$。

2. 减法法则

定理：如果 ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$ 和 ${\lim }_{x\to c}g(x)=M$，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)-g(x)]=L-M$$

证明：

• 由加法法则，${\lim }_{x\to c}[f(x)-g(x)]={\lim }_{x\to c}[f(x)+(-g(x))]=L+(-M)=L-M$。

3. 乘法法则

定理：如果 ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$ 和 ${\lim }_{x\to c}g(x)=M$，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M$$

证明：

• 设 $ϵ>0$，需要找到 $\delta >0$ 使得当 $0<|x-c|<\delta$ 时，$|f(x)g(x)-LM|<ϵ$。
• 由于 ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$，存在 ${\delta }_1>0$ 使得当 $0<|x-c|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-L|<1$，从而 $|f(x)|<|L|+1$。
• 存在 ${\delta }_2>0$ 使得当 $0<|x-c|<{\delta }_2$ 时，$|f(x)-L|<\frac{ϵ}{2(|M|+1)}$ 和 $|g(x)-M|<\frac{ϵ}{2(|L|+1)}$。
• 取 $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$，则当 $0<|x-c|<\delta$ 时，
  $$|f(x)g(x)-LM|=|f(x)(g(x)-M)+(f(x)-L)M|\le |f(x)||g(x)-M|+|f(x)-L||M|$$
  $$<(|L|+1)\frac{ϵ}{2(|L|+1)}+\frac{ϵ}{2(|M|+1)}|M|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$
• 因此，${\lim }_{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M$。

4. 除法法则

定理：如果 ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$ 和 ${\lim }_{x\to c}g(x)=M\ne 0$，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}$$

证明：

• 设 $ϵ>0$，需要找到 $\delta >0$ 使得当 $0<|x-c|<\delta$ 时，$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|<ϵ$。
• 由于 ${\lim }_{x\to c}g(x)=M\ne 0$，存在 ${\delta }_1>0$ 使得当 $0<|x-c|<{\delta }_1$ 时，$|g(x)-M|<\frac{|M|}{2}$，从而 $|g(x)|>\frac{|M|}{2}$。
• 存在 ${\delta }_2>0$ 使得当 $0<|x-c|<{\delta }_2$ 时，$|f(x)-L|<\frac{ϵ|M{|}^2}{4}$ 和 $|g(x)-M|<\frac{ϵ|M{|}^2}{4|L|+1}$。
• 取 $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$，则当 $0<|x-c|<\delta$ 时，
  $$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\left|\frac{f(x)M-g(x)L}{g(x)M}\right|=\frac{|f(x)M-g(x)L|}{|g(x)M|}$$
  $$=\frac{|f(x)M-f(x)g(x)+f(x)g(x)-g(x)L|}{|g(x)M|}\le \frac{|f(x)||M-g(x)|+|g(x)||f(x)-L|}{|g(x)M|}$$
  $$<\frac{\left(|L|+1\right)\frac{ϵ|M{|}^2}{4|L|+1}+\frac{|M|}{2}\frac{ϵ|M{|}^2}{4}}{\frac{|M{|}^2}{2}}=ϵ$$
• 因此，${\lim }_{x\to c}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}$。