一、鞅的定义

        鞅（Martingale） 是一种特殊的随机过程，它描述了一个公平游戏的动态过程。在随机过程中，鞅可以理解为一个序列，其中每个元素的期望值等于前一个元素的值。

        想象你在一个公平的赌场里玩一个游戏，每次下注的期望收益为零。这意味着无论你下注多少，长期来看，你赢和输的概率是相等的，因此你的总资金在长期内的期望变化是零。如果你记录下每次游戏后的总资金，这个序列就是一个鞅。

        数学定义： 设{Xn​,n≥0}是一个随机过程，如果对于所有的n≥0，满足以下条件：

1. E[∣Xn​∣]<∞（即每个元素的期望值是有限的）。在赌场中，这意味着你的资金不会无限制地增加或减少，因为赌场有上限和下限。
2. E[Xn+1​∣X0​,X1​,…,Xn​]=Xn​（即下一个元素的期望值等于当前元素的值）。根据你过去的游戏记录，你下一次游戏后的期望资金与你现在的资金相同。

        那么，这个随机过程 {Xn​,n≥0} 就是一个鞅。

二、鞅差的定义

        鞅差（Martingale Difference） 是鞅的一种特殊形式，它描述了一个序列中每个元素与前一个元素的差值的期望值为零。

        继续上面的赌场游戏，如果你记录下每次游戏后的资金变化（即当前资金减去上一次的资金），这个变化序列的期望值为零，那么这个变化序列就是一个鞅差。

        数学定义：设{Dn​, n≥0} 是一个随机过程，如果对于所有的  n≥0，满足以下条件：

1. E[∣Dn​∣]<∞（即每个元素的期望值是有限的）。这确保每次资金变化的幅度是有限的。
2. E[Dn+1​∣D0​,D1​,…,Dn​]=0（即下一个元素的期望值等于零）。你不能通过已知的历史记录预测下一次下注的结果，从而获得系统性的优势。这保证了游戏的公平性。

        那么，这个随机过程{Dn​,n≥0} 就是一个鞅差。

三、鞅的性质

1. 期望值不变：对于鞅 {Xn​, n≥0}，有 E[Xn​] = E[X0​]，即鞅的期望值在整个过程中保持不变。
2. 条件期望：对于鞅 {Xn​, n≥0}，有 E[Xn+1​∣X0​,X1​,…,Xn​] = Xn​，即下一个元素的期望值等于当前元素的值。
3. 鞅的收敛性：如果鞅{Xn​, n≥0} 满足某些条件（例如，满足L1收敛性），那么它几乎必然收敛到一个有限的极限。

四、鞅差的性质

1. 期望值为零：对于鞅差 {Dn​, n≥0}，有 E[Dn​] = 0，即鞅差的期望值为零。
2. 条件期望：对于鞅差{Dn​, n≥0}，有E[Dn+1​∣D0​,D1​,…,Dn​]=0，即下一个元素的期望值等于零。
3. 鞅差的和：如果{Dn​,n≥0} 是一个鞅差序列，那么  是一个鞅。