用邻接表存储，并按Kruskal算法求最小生成树 实验

3.1 实验内容

根据书P262习题3给定的无向带权图，用邻接表作为存储结构，用kruskal算法构造其最小生成树。

克鲁斯卡尔算法的基本思想是:设一个有n个顶点的连通网络G={V，E}，先构造一个包括全部n个顶点和0条边的森林F={T0，T1，…，Tn-1}，以后每一步向F中加入一条边(v, u)，它应是所依附的两个顶点v和u分别在森林F的两棵不同的树上的所有边中具有最小权值的边。由于这条边的加入，使F中的某两棵树合并为一棵，树的棵数减一。如此，经过n-1步，最终得到一棵有n-1条边且各边权值总和达到最小的生成树--最小生成树。

3.2文件结构、开发环境等说明

3.3实现技术

1、邻接表作为存储结构

通过三个头文件“AdjListDirNetwork.h”、“AdjListDirNetworkArc.h”、“AdjListDirNetworkVec.h”，用邻接表类、邻接表边结点类、邻接表顶点结点类将图用邻接表的存储结构表示（这里不展示相关代码）。

2、最小堆存放连通网络中的边

在克鲁斯卡尔算法中，利用最小堆来存放连通网络中的边，堆中每个元素代表连通网络中的一条边（这里不做堆类的代码展示）

3、并查集存放连通分量

在利用并查集存放所有连通分量，同一个连通分量的顶点组成并查集的一个子集(等价类)。（这里不做并查集类的代码展示）

4、Kruskal算法

为了在堆中存放边的信息，并在堆调整时进行边上权值比较，下面先给出Kruskal算法中边类声明和实现。在这个边类中定义了一条边依附的两个顶点vertexl、vertex2以及边的权weight。另外，除了构造函数外，重载了赋值运算、<=和>两个关系运算。

template<class ElemType,class WeightType>
class KruskalEdge
{
public:
	ElemType vertex1, vertex2;
	WeightType weight;
	KruskalEdge(ElemType v1, ElemType v2, WeightType w);
	KruskalEdge() { vertex1 = 0; vertex2 = 0; weight = 0; };
	KruskalEdge<ElemType, WeightType>& operator=(const KruskalEdge<ElemType, WeightType>& Ed);//赋值语句重载
	bool operator<=(const KruskalEdge<ElemType, WeightType>& Ed);
	bool operator>=(const KruskalEdge<ElemType, WeightType>& Ed);
	bool operator>(const KruskalEdge<ElemType, WeightType>& Ed);
	bool operator<(const KruskalEdge<ElemType, WeightType>& Ed);
};

克鲁斯卡尔算法步骤如下。

1)初始化，在并查集中，连通网络的每一个顶点独立成一个等价类，连通网络的所有的边建立最小堆，最小生成树T中没有任何边，T中边的条数计数器i为0。

2)如果T中边的条数计数器i等于顶点数减1，则算法结束;否则继续步骤3)。

3)选取堆顶元素代表的边(v，u)，同时调整堆。

4)利用并查集的运算检查依附于边(vu)的两个顶点v和u是否在同一个连通分量(即并查集的同一个子集合)上，如果是则转步骤2);否则继续步骤5)。

5)将边(v，u)加入到最小生成树T中，同时将这两个顶点所在的连通分量合并成一个连通分量(即并查集中的相应两个子集合并成一个子集)，继续步骤2)。

template <class ElemType, class WeightType>
void MiniSpanTreeKruskal(const AdjListDirNetwork<ElemType, WeightType>& g)
{
	int count, VexNum = g.GetVexNum();
	KruskalEdge<ElemType, WeightType> KEdge;
	MineHeap<KruskalEdge<ElemType, WeightType> > ha(g.GetEdgeNum());
	ElemType* kVex, v1, v2;
	kVex = new ElemType[VexNum];	// 定义顶点数组,存储顶点信息 
	for (int i = 0; i < VexNum; i++)
		g.GetElem(i, kVex[i]);
	UFSets<ElemType> f(kVex, VexNum);// 根据顶点数组构造并查集 
	for (int v = 0; v < VexNum; v++)
		for (int u = g.FirstAdjVex(v); u >= 0; u = g.NextAdjVex(v, u))
			if (v < u) {	// 将v < u的边插入到最小堆 
				g.GetElem(v, v1);
				g.GetElem(u, v2);
				KEdge.vertex1 = v1;
				KEdge.vertex2 = v2;
				KEdge.weight = g.GetWeight(v, u);
				ha.Insert(KEdge);
			}
	count = 0;					    // 表示已经挑选的边数
	while (count < VexNum - 1) {
		ha.DeleteTop(KEdge);        // 从堆顶取一条边
		v1 = KEdge.vertex1;
		v2 = KEdge.vertex2;
		if (f.Differ(v1, v2)) {	// 边所依附的两顶点不在同一棵树上
			cout << "边:( " << v1 << ", " << v2 << " ) 权:" << KEdge.weight << endl; // 输出边及权值
			f.Union(v1, v2);		// 将两个顶点所在的树合并成一棵树
			count++;
		}
	}
}

5、测试代码

调用MiniSpanTreeKruskal(net)函数，生成最小生成树（完整代码在资源区）

cout << "Kruskal算法产生最小生成树的边：" << endl;
MiniSpanTreeKruskal(net);
cout << endl;

3.4测试结果

1、测试实例

2、邻接表作为存储结构

3、Kruskal算法

完整代码可看资源区

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