伽马函数（Gamma function），记作 \(\Gamma(z)\)，是一个重要的特殊函数，广泛应用于数学、物理学和工程学。它是阶乘函数的推广，定义在复数域上。本文将详细介绍伽马函数的极点及其其他重要性质。
一.伽马函数的定义
伽马函数的积分定义为：
\[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \, dt \]
这个定义在复平面上除了非正整数点以外的所有地方都有效。
二.伽马函数的极点
伽马函数在所有非正整数点（即 \(0, -1, -2, -3, \ldots\)）处具有简单极点（simple pole）。这意味着伽马函数在这些点附近可以用如下形式表示：
\[ \Gamma(z) \sim \frac{(-1)^n}{n! (z + n)} \quad \text{当 } z \to -n \]
其中 \(n\) 是非负整数。这些点称为伽马函数的极点。
对于非正整数 \(-n\) 处的极点，其留数（residue）为：
\[ \text{Res}(\Gamma(z), z = -n) = \frac{(-1)^n}{n!} \]
三.伽马函数的其他重要性质
1. 递推关系（Recurrence Relation）：
伽马函数满足以下递推关系：
\[ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \]
这意味着 \(\Gamma(z)\) 的值可以通过 \(\Gamma(z+1)\) 的值递推得到。
2. 伽马函数在正整数点的值：
对于正整数 \(n\)，伽马函数的值为：
\[ \Gamma(n) = (n-1)! \]
这表明伽马函数在正整数点与阶乘函数一致。
3. 反射公式（Reflection Formula）：
伽马函数满足反射公式：
\[ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \]
这个公式在复分析中非常重要，揭示了伽马函数在复平面上的对称性质。
4. 斯特林公式（Stirling's Approximation）：
当 \(|z|\) 足够大时，伽马函数可以通过斯特林公式近似表示：
\[ \Gamma(z) \approx \sqrt{2\pi} z^{z-\frac{1}{2}} e^{-z} \]
这个近似在数值计算和渐近分析中非常有用。
5. 无穷乘积表示（Weierstrass Factorization）：
伽马函数的无穷乘积表示为：
\[ \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \]
其中 \(\gamma\) 是欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant）。
6. 伽马函数的对数导数（Digamma Function）：
伽马函数的对数导数称为ψ函数（Digamma function），记作 \(\psi(z)\)：
\[ \psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \]
四.伽马函数的图像
在实数轴上，伽马函数的行为如下：
- 在正整数点处，\(\Gamma(n) = (n-1)!\)。
- 在正数非整数点处，\(\Gamma(z)\) 是一个连续且正的函数。
- 在负整数点处，\(\Gamma(z)\) 有极点。
总结来说，伽马函数是一个具有丰富性质和深远应用的特殊函数。它的极点、递推关系、反射公式、斯特林公式等性质使得它在理论研究和实际应用中都扮演着重要角色。
五、举例
为了具体说明伽马函数的极点，我们来看一个具体的例子。假设我们要找到伽马函数在 \( z = -1 \) 处的极点。
例子：伽马函数在 \( z = -1 \) 处的极点
首先，我们知道伽马函数 \(\Gamma(z)\) 在非正整数点（即 \(0, -1, -2, -3, \ldots\)）处具有简单极点。因此，\( z = -1 \) 是伽马函数的一个极点。
伽马函数在 \( z = -1 \) 附近的行为
为了理解伽马函数在 \( z = -1 \) 附近的行为，我们可以使用伽马函数的性质和留数公式。伽马函数在 \( z = -1 \) 处的留数可以由以下公式给出：
\[ \text{Res}(\Gamma(z), z = -1) = \frac{(-1)^1}{1!} = -1 \]
这意味着在 \( z = -1 \) 附近，\(\Gamma(z)\) 的表现形式可以表示为：
\[ \Gamma(z) \sim \frac{-1}{z + 1} \quad \text{当 } z \to -1 \]
实际计算
我们来看一下实际计算的情况。利用伽马函数的反射公式：
\[ \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \]
当 \( z = -1 \) 时，\( 1 - (-1) = 2 \)，所以我们有：
\[ \Gamma(-1) \Gamma(2) = \frac{\pi}{\sin(-\pi)} \]
由于 \(\Gamma(2) = 1!\ = 1\) 和 \(\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0\)，我们可以得到：
\[ \Gamma(-1) \cdot 1 = \frac{\pi}{0} \]
这表明 \(\Gamma(-1)\) 确实有一个极点。为了更加直观理解，我们可以借助伽马函数的渐近展开和数值计算来验证这一点。
总结
在 \( z = -1 \) 处，伽马函数具有一个简单极点，并且其留数为 -1。这意味着在 \( z \) 接近 -1 时，伽马函数的行为类似于：
\[ \Gamma(z) \sim \frac{-1}{z + 1} \]
这种分析方法可以应用于伽马函数在其他非正整数点的极点分析中。每个极点的留数可以通过公式 \(\text{Res}(\Gamma(z), z = -n) = \frac{(-1)^n}{n!}\) 来计算。