二重积分常考题型：
1.累次积分交换次序或计算
2.二重积分计算
3.二重积分的不等式
文章目录
1.累次积分交换次序或计算
1.1交换累次积分次序一般方法
（1）画域
根据积分上下限在图中画出积分域；
（2）定限
交换积分次序，重新确定积分上下限；
解析：
1.2极坐标转换为直角坐标
这个积分是用极坐标表示的，看内层积分的上下限，上限为cosθ，即r=cosθ，两边同时乘r，
可得r²=rcosθ，已知在极坐标中，r²=x²+y²，rcosθ=x则x²+y²=x，即得y=√x-x²，即为上限；
解析：
这个题的话，根据前面讲过的适合用极坐标解题的积分域和被积函数，这个题都符合，所以想到用极坐标解题；
1.3直角坐标转换为极坐标
内层上限为√2x-x²，即y=√2x-x²，两边同时平分得：y²=2x-x²，即为x²+y²=2x，为一个偏心圆；
已知x²+y²=r²，x=rcosθ，则r=2cosθ，即为上限；
（这个偏心圆的圆心，暂时先不交大家怎么求的，后面会单独出一期关于椭圆，圆，偏心圆的圆心求法）
2.二重积分计算
解析：
积分域为一个圆，关于x轴上下对称，函数y关于y为奇函数，所有积分为0；
因为积分域是以原点为圆心的圆，肯定是关于y=x对称的，所有满足变量对称性；
解析：（-1,1）点到原点这条标红的线，是辅助线，方便后续解题；
函数xy关于x轴和y轴都是奇函数，且在上图划分的两个区域D3和D2内积分域分别关于x轴，y轴对称，故∬xydxdy=0；
当在积分域D3内时积分域关于x轴对称，函数cosxsiny关于y为奇函数；
当在积分域D2内时积分域关于y轴对称，函数cosxsiny关于x为偶函数；
∬（xy+cosxsiny）dxdy=∬（xy）dxdy+∬cossinydxdy
=∬（xy）dxdy（D2）+∬（xy）dxdy（D3）+∬cossinydxdy（D2）+∬cossinydxdy（D3）
=0+0+∬cossinydxdy（D2）+0
=∬cossinydxdy（D2）
=2∬cossinydxdy（D1）
这个题的积分域是个圆环，我画的图可以参考一下；
3.二重积分的不等式
解析：
积分域为以原点为圆心，1为半径的圆；被积函数为y-x；
y-x>0，y>x;
y-x<0，y<x;
I2>0;
I4<0;
I3=∬（y-x）dxdy（D3）=∬（x-y）dxdy=-I3；（根据积分域具有轮转对称性）I3=-I3，I3=0；
I1=∬（y-x）dxdy（D1）=∬（x-y）dxdy=-I1；（根据积分域具有轮转对称性）I1=-I1，I1=0；
故I2>I1=I3=0>I4;