数学 {极限运算法则(复合函数)}
@LOC: 0

法则1

定义

复合函数$z(x)=f[g(x)]$在$x_0$去心邻域有定义, 则$({\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0)\wedge (\exists \mathring{U}(x_0)在该去心邻域内,均满足g(x)\ne u_0)\wedge (f在u_0收敛]\Rightarrow (z在x_0收敛)$;
. 证明: LINK: @LOC-1;

@DELIMITER

性质

MARK: @LOC-1;

要证明: $\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in D_f,(0<|x-x_0|<\delta )⟹(|f(x)-L|<ϵ)$;

因为${\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$, 故$\forall ϵ>0,\exists {\delta }_0>0,\forall 0<|u-u_0|<{\delta }_0,|f(u)-A|<ϵ$;

@TODO;

@DELI;

要会变通; 结论中的$A$, 又可以写成${\lim }_{u\to u_0}f(x)$, 也就是: ${\lim }_{x\to x_0}z(x)={\lim }_{u\to u_0}f(u)$;
. 即, 求复合函数的极限, 可以转换为: 求子函数$f(x)$的极限;

@DELIMITER

第二个前提条件里, 要保持: 存在$x_0$的某个去心邻域 使得$g(x)\ne u_0$; 这是因为, $f$在$u_0$可能是没有定义的;
. 换句话说, 不管$f$在$u_0$ {有无定义, 如果有定义 函数值为多少} 都无所谓, 只要这3个条件满足 就有这样的结论;

要会变通, 比如此时再添加条件$f(u_0)=A$, 那么 第2个条件 就可以省略了;

@DELIMITER

注意逻辑关系, 有这3个前提条件, 则原复合函数一定有极限; 但是, 你不能说 不符合某个前提条件, 就没有极限, 比如:
. $g(x)$在$x_0$没有极限 (因为$z$在$x_0$邻域有定义, 所以$g$在$x_0$邻域也会有定义), 比如让$f$为常函数 (定义域为R), 那么虽然$g$没有极限 但在$x_0$邻域里 不管$g(x)$等于多少, $f(g(x))$的值 都会是$A$; 因此, $z$是有极限的;
. $g(x)$在$x_0$邻域会等于$u_0$; 此时依然让$f$为常函数 (定义域为R), 此时不管$g(x)$等于多少 $f(g(x))$的值 恒等于$A$; 因此, $z$是有极限的;
. $f$在$u_0$没有极限; 令$f(<u_0)=0,f(>u_0)=1$, 令$g=u_0-1$ (即常函数), 则$f(g(x))$恒等于$0$; 因此, $z$是有极限的;

法则2

定义

$x_0\in \overline{R}$:
条件1: ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$;
条件2: $f(u)在u_0处连续$;
结论: ${\lim }_{x\to x_0}f[g(x)]=f({\lim }_{x\to x_0}g(x))=f(u_0)$;

性质

这个结论${\lim }_{x\to x_0}f[g(x)]=f({\lim }_{x\to x_0}g(x))=f(u_0)$, 为什么要写中间项 (可以直接去掉他吗) 这是有原因的;

千万不要以为, $u_0$是指最终$g(x)$的取值为$u_0$, 这是错误的! 他的极限是$u_0$ 但可能$R_g$值域里 就没有$u_0$这个元素;
. 比如, $1/x$ 他在$+\infty$的极限是$0$ 但他的值域 根本就没有$0$;
我们的重点是在说: 这个$\lim$极限符号 可以放到里面去! (其答案 就是$f(u_0)$, 但要注意 可能$(u_0,f(u_0))$这个点 在求极限的过程中 完全没有涉及到, 只是说 他的极限值 是等于$f(u_0)$;

@DELI;

如果只满足条件1 而不满足条件2, 则结论不成立;
. $x_0=0,f(x)=x\ast sin(1/x),g(x)=x$, 则有${\lim }_{x\to 0}f[g(x)]=0\ne f(0)$;

如果只满足条件2 而不满足条件1, 则结论不成立;
. $x_0=+\infty ,f(x)=1,g(x)=sin(x)$, 则有${\lim }_{x\to 0}f[g(x)]=1\ne f[{\lim }_{x\to +\infty }g(x)]$;

@DELI;