集合基数
可列集与可数集
- 设
E
⊂
R
，
∀
x
∈
E
，均存在
δ
>
0
,
使区间
(
x
−
δ
,
x
)
与
(
x
,
x
+
δ
)
中有一个不含
E
的点，则
E
是可数集。
E \subset R，\forall x \in E，均存在\delta >0,使区间(x-\delta,x)与(x,x+\delta)中有一个不含E的点，则E是可数集。
E⊂R，∀x∈E，均存在δ>0,使区间(x−δ,x)与(x,x+δ)中有一个不含E的点，则E是可数集。
证：设 E = { x 1 , x 2 , . . . . . } = { x i ∣ i = 1 , 2 , . . . . } 设 E x i = { a i ∣ a i ∈ ( x i − δ , x i ） ∪ （ x i , x i + δ ） , x i ∈ E } , i = 1 , 2 , . . . . B i = E x i \ E = { b i } B x = B 1 ∪ B 2 . . . = { b 1 , b 2 , . . . . } B x 将 E 分割成互不相交的开区间族， E 为可数集。 证：设E=\{x_1,x_2,.....\}=\{x_i|i=1,2,....\} \\设E_{x_i}=\{a_i|a_i \in (x_i-\delta,x_i）\cup（x_i,x_i+\delta）,x_i \in E\},i=1,2,.... \\B_i=E_{x_i} \backslash E =\{b_i\} \\B_x=B_1\cup B_2...=\{b_1,b_2,....\} \\B_x将E分割成互不相交的开区间族，E为可数集。 证：设E={x1,x2,.....}={xi∣i=1,2,....}设Exi={ai∣ai∈(xi−δ,xi）∪（xi,xi+δ）,xi∈E},i=1,2,....Bi=Exi\E={bi}Bx=B1∪B2...={b1,b2,....}Bx将E分割成互不相交的开区间族，E为可数集。 - 设
E
⊂
R
是可列集，则存在
x
0
∈
R
，使得
E
∩
(
E
+
{
x
0
}
)
=
∅
(
A
+
B
=
x
+
y
:
x
∈
A
,
y
∈
B
)
E \subset R是可列集，则存在x_0 \in R，使得E\cap(E+\{x_0\})=\emptyset(A+B=x+y:x \in A, y \in B)
E⊂R是可列集，则存在x0∈R，使得E∩(E+{x0})=∅(A+B=x+y:x∈A,y∈B)
设 ∀ a , b ∈ E ， a − b = c , c ∈ R C a b = { a − b ∣ a ∈ E , b ∈ E } R \ C a b ≠ ∅ ，证毕 设\forall a,b \in E，a-b=c,c \in R \\C_{ab}=\{a-b|a \in E, b \in E\} \\R \backslash C_{ab} \ne \emptyset，证毕 设∀a,b∈E，a−b=c,c∈RCab={a−b∣a∈E,b∈E}R\Cab=∅，证毕 -
设
f
(
x
)
在
R
上满足：对于任意的
x
0
∈
R
，存在
δ
>
0
,
使得
f
(
x
)
≥
f
(
x
0
)
(
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
，则其值域
R
(
f
)
是可数集
设f(x)在R上满足：对于任意的x_0 \in R，存在\delta>0,使得f(x) \ge f(x_0)(|x-x_0|<\delta，则其值域R(f)是可数集
设f(x)在R上满足：对于任意的x0∈R，存在δ>0,使得f(x)≥f(x0)(∣x−x0∣<δ，则其值域R(f)是可数集
证： ∃ δ > 0 , ∀ x 0 ∈ R , ∣ x − x 0 ∣ < δ = > f ( x ) ≥ f ( x 0 ) ∃ a , b ∈ R , a < x 0 , b > x 0 , f ( a ) ≥ f ( x 0 ) , f ( b ) ≥ f ( x 0 ) E x i = { x i ∈ R ∣ f ( a i ) ≥ f ( x i ) , f ( b i ) ≥ f ( x i ) , ∃ a i , b i ∈ R } x i ∈ [ a i , b i ] 时， f ( x i ) 为最小值，所以， E x i 为可数集 则 { f ( x ) ∣ x ∈ E x i } 为可数集 证： \\\exists\delta>0,\forall x_0 \in R,|x-x_0|<\delta=>f(x) \ge f(x_0) \\\exists a,b \in R,a<x_0,b>x_0,f(a) \ge f(x_0),f(b) \ge f(x_0) \\E_{x_i}=\{x_i \in R|f(a_i) \ge f(x_i),f(b_i) \ge f(x_i),\exists a_i,b_i \in R\} \\x_i\in [a_i,b_i]时，f(x_i)为最小值，所以，E_{x_i}为可数集 \\则\{f(x)|x \in E_{x_i}\}为可数集 证：∃δ>0,∀x0∈R,∣x−x0∣<δ=>f(x)≥f(x0)∃a,b∈R,a<x0,b>x0,f(a)≥f(x0),f(b)≥f(x0)Exi={xi∈R∣f(ai)≥f(xi),f(bi)≥f(xi),∃ai,bi∈R}xi∈[ai,bi]时，f(xi)为最小值，所以，Exi为可数集则{f(x)∣x∈Exi}为可数集