二阶变系数线性微分方程

常数变异法

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$ (1)

设 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0$ 的通解为 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$

将通解中的常数， $C_{1},C_{2}$ 变异成函数 $u_{1},u_{2}$

设 $y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}$ 是(1)的一个解。

$y^{'}=u_{1}^{'}y_{1}+u_{1}y^{'}_{1}+u_{2}^{'}y_{2}+u_{2}y^{'}_{2} =(u_{1}^{'}y_{1}+u_{2}^{'}y_{2})+(u_{1}y^{'}_{1}+u_{2}y^{'}_{2})$

补充条件：令 $u_{1}^{'}y_{1}+u_{2}^{'}y_{2}=0$ （2）

则： $y^{'} =u_{1}y^{'}_{1}+u_{2}y^{'}_{2}$

$y^{''} =u_{1}^{'}y^{'}_{1}+u_{1}y^{''}_{1}+ u_{2}^{'}y^{'}_{2}+u_{2}y^{''}_{2}=(u_{1}y^{''}_{1}+u_{2}y^{''}_{2})+(u_{1}^{'}y^{'}_{1}+u_{2}^{'}y^{'}_{2})$

代入(1)得

$(u_{1}y^{''}_{1}+u_{2}y^{''}_{2})+(u_{1}^{'}y^{'}_{1}+u_{2}^{'}y^{'}_{2})+p(x)(u_{1}y^{'}_{1}+u_{2}y^{'}_{2})+q(x)(u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2})=f(x)$

$(u_{1}y_{1}^{''}+u_{1}py_{1}^{'}+u_{1}qy_{1})+(u_{2}y_{2}^{''}+u_{2}py^{'}_{2}+u_{2}qy)+(u_{1}^{'}y^{'}_{1}+u_{2}^{'}y^{'}_{2})=f(x)$

因为 $y_{1},y_{2}$ 是齐次方程的解，所以

$u_{1}y_{1}^{''}+u_{1}py_{1}^{'}+u_{1}qy_{1}=0$

$u_{2}y_{2}^{''}+u_{2}py^{'}_{2}+u_{2}qy=0$

所以

$u_{1}^{'}y^{'}_{1}+u_{2}^{'}y^{'}_{2}=f(x)$ （3）

$u_{1}^{'}y_{1}+u_{2}^{'}y_{2}=0$ （2）（补充条件）

方程组（2）（3）有唯一的解

记作： $u_{1}^{'}=\varphi _{1}(x)$ , $u_{2}^{'}=\varphi _{2}(x)$

$u_{1}=\int \varphi _{1}(x)dx,u_{2}=\int \varphi _{2}(x)dx$

(1)有特解 $\widetilde{y}=y_{1}\int \varphi _{1}(x)dx+y_{2}\int \varphi _{2}(x)dx$

(1)的通解为 $y=Y+\widetilde{y}$

例题：

$y^{''}-2y^{'}+y=\frac{e^{x}}{x}$

这是一个二阶常系数非齐次线性方程。

1.先求出齐次线性方程的通解，然后再求其本身的一个特解。

$r^{2}-2r+1=0$

$(r-1)^{2}=0$

$r_{1}=r_{2}=1$

所以 $y^{''}-2y^{'}+y=0$ 的通解 $Y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}$

即 $Y=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}$

$y_{1}=e^{x},y_{2}=xe^{x}$

设 $y=u_{1}e^{x}+u_{2}xe^{x}$ 是(1)的一个解。

$u_{1}^{'}y^{'}_{1}+u_{2}^{'}y^{'}_{2}=f(x)$ （3）

$u_{1}^{'}y_{1}+u_{2}^{'}y_{2}=0$ （2）

将 $y_{1},y_{2}$ 代入

$u_{1}^{'}e^{x}+u_{2}^{'}xe^{x}=0$

$u_{1}^{'}e^{x}+u_{2}^{'}e^{x}+u_{2}^{'}xe^{x}=\frac{e^{x}}{x}$

$u_{2}^{'}=\frac{1}{x}$ , $u_{1}^{'}=-1$

$u_{2}=ln|x|,u_{1}=-x$

(1)有特解 $\widetilde{y}=-xe^{x}+(ln|x|)xe^{x}$

(1)的通解为 $y=Y+\widetilde{y}=(C_{1}+C_{2x}-x+xln|x|)e^{x}$

2、幂级数解法

例

$y^{''}+y=0$

设方程的解，可以展开幂级数。

$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+.......+a_{n}x^{n}+......$

$y^{'}=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+.......+(n+1)a_{n+1}x^{n}+......$

$y^{''}=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+.......+(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+......$

代入方程

$y^{''}+y=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+.......+(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+......+a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+.......+a_{n}x^{n}+......=(2a_{2}+a_{0})+(6a_{3}x+a_{1}x)+.....=0$

因为 $y^{''}+y=0$

所以

$a_{0}+2a_{2}=0$ $a_{2}=-\frac{1}{2}a_{0}$

$6a_{3}+a_{1}=0$ $a_{3}=-\frac{1}{3*2}a_{1}$

$12a_{4}+a_{2}=0$ $a4=-\frac{1}{4*3}a_{2}=(-1)^{2}\frac{1}{4*3*2}a_{0}$

$(5*4)a_{5}+a_{3}=0$ $a_{5}=-\frac{1}{5*4}a_{2}=(-1)^{2}\frac{1}{5*4*3*2}a_{1}$

..................

$y=(a_{0}-\frac{1}{2!}a_{0}x^{2}+\frac{1}{4!}a_{0}x^{4}-\frac{1}{6!}a_{0}x^{6} +............)+(\frac{1}{3!}a_{1}x^{3}+\frac{1}{5!}a_{1}x^{5}-\frac{1}{7!}a_{1}x^{7}+.........)$

$=a_{0}cosx+a_{1}sinx$

即 $y=a_{0}cosx+a_{1}sinx$ 为方程的通解

二阶变系数线性微分方程

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