1.概述

计算机显示器是一个2D表面。由OpenGL渲染的3D场景必须被投影到计算机屏幕上作为2D图像。GL_PROJECTION矩阵用于这种投影变换。首先，它将所有顶点数据从eye坐标系（也可以称为相机坐标系，即由谁来观看）转换到裁剪坐标系(clip coordinate)。然后，这些裁剪坐标通过除以clip坐标的分量，被进一步转换为归一化设备坐标（NDC），即坐标范围在-1到1之间。

因此，我们必须记住，裁剪的视锥体和NDC变换都集成在GL_PROJECTION矩阵中。以下部分描述了如何从6个参数：left、right、bottom、top、near和far边界值，来构建投影矩阵。

需要注意，视锥体的裁剪是在clip坐标中执行的，先于除以（它会生成NDC坐标）。clip坐标xc、yc和zc通过与wc比较来测试。如果任何clip坐标小于-wc，或大于wc，则该顶点将被丢弃。那么经裁剪后剩余的顶点的裁剪坐标满足：

OpenGL会在发生裁剪的地方生成新的边，如下图1，一个三角形经裁后，成了一个梯形，两条红色的边就是裁剪后新生成的。

图1. 一个被视口裁剪的三角形

2.透视投影

图2. 透视截断视锥体和归一化设备坐标（NDC）示意图

一共涉及到6个坐标边界：

n表示near，对应为视锥体近面z坐标，f表示far，对应为远面z坐标，
t表示视锥体top面z坐标，b表示 bottom面y坐标，
r表示视锥体right x坐标，left表示左面x坐标。

一共涉及到3个坐标系：

eye坐标系（也称为view坐标系，或者相机坐标系）,

clip坐标系,

NDC坐标系,

在透视投影中，截断的视锥体（相机坐标）中的3D点被映射到立方体（NDC）；x坐标的范围从变为，y坐标变为，z坐标从变为。

需要注意，眼坐标是在右手坐标系中定义的，但NDC使用左手坐标系。也就是说，在眼空间中，相机位于原点，看向-Z轴，但在NDC中，它是看向+Z轴。由于glFrustum()接受的的near和far是始终为正，我们在构建GL_PROJECTION矩阵期间需要对它们取反。

在OpenGL中，眼空间中的3D点被投影到近裁剪平面（投影平面）。以下图表显示了如何在近平面上将眼空间中的点投影到。

 图3. 视景体中的俯视图

 图4. 视景体中的侧视图

从截断锥体的俯视图看，眼空间中的坐标被映射到，这是通过使用相似三角形的比例得到：

从截锥体的侧视图看，也是以类似的方式计算的；

请注意，和都依赖于；它们与成反比。换句话说，它们都是除以。这是构建GL_PROJECTION矩阵的第一个线索。在眼坐标通过乘以GL_PROJECTION矩阵变换后，裁剪坐标仍然是齐次坐标。它最终通过除以裁剪坐标的w分量变为归一化设备坐标（NDC）。（详见OpenGL Transformation）
 

 ,    

因此，我们可以将裁剪坐标的分量设置为。而且，GL_PROJECTION矩阵的第4行变为（0, 0, -1, 0）。

进一步，将和映射到NDC的和(这里的n表示NDC坐标），具有线性关系， 和.

图5.把xp映射到xn

 同理，可以求出 和  之间的关系表达式，如图6及以下公式：

图6.把yp映射到yn

然后，在上式中代入,得到：

请注意，上面刚刚求得的 是NDC坐标，而NDC应该是由裁剪坐标除以 得到，我们使每个方程的两项都能被整除，以进行透视除法）。通过设置了 为 ，括号内的项变成了裁剪空间的  和 。

根据这些方程，我们可以找到GL_PROJECTION矩阵的第一行和第二行。

现在，我们只需要求解GL_PROJECTION矩阵的第三行。找到与其他人有点不同，因为眼空间中的总是投影到近平面(near plane)上的。但我们为了完成裁剪和深度测试，每个顶点应该得到不同的z值。此外，我们应该能够反投影（逆变换）。由于我们知道z不依赖于x或y值，我们借用w分量来找到和之间的关系。因此，我们可以先指定GL_PROJECTION矩阵的第三行如下形式：

在eye空间中，总是等于1。因此，方程变为：

为了找到系数 A和 B，我们把之间的关系和，代入上述方程。

上述方程（1）改写为：

将方程(1')代入方程2)中的 B，然后求解A：

将A代入eq.(1)以得到B;

由此，我们得到了A和B。因此，和之间的关系变为；

最后，完整的透视投影矩阵GL_PROJECTION: 

上面这是一个通用视景体的投影矩阵。当视景体是对称时，即，则:

也就是如下形式：

故投影矩阵可以简化为: 

                        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

透视投影矩阵们已经求出来了，在继续往下探讨之前，可以再看一下上面的方程(3)，即：

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

可以看到它是一个有理函数(rational function)，且是一个非线性函数。这意味着在近裁剪平面(near plane)附近，它具有很高的精度(very high precision)，而在远裁剪面(far plane)附近具有非常小的精度(very little precision)。如果的范围变大，它会造成深度值精度问题(z-fighting)，即可能在离far plane比较近的地方，当 的值差异较小时，它们对应的  值相同，或者说当一个 值发生小的变化时，对应的  不受影响(即值不变)。这会产生错误的视觉效果。如下面图7所示，在远裁剪平面附近， 的值几乎不随  发生变化。

图7.深度缓存的精度对比

3.无穷透视投影矩阵

对于透视投影矩阵，如果设置矩阵第三行远裁剪平面在无穷远处，即，可以简化为：

因此，对于通用和对称透视投影矩阵，在无穷远裁剪平面，则有：

通用无穷透视投影矩阵

对称无穷透视投影矩阵

需要注意，无穷投影矩阵仍然受到深度精度的影响。

4.带视场的透视投影矩阵

对于特定窗口尺寸上的透视投影，很难用给定的近平面和远平面正确确定4个参数（左、右、上、下）。可以从垂直/水平视场角和纵横比、宽度/高度轻松导出这4个参数。然而，这些转换仅限于对称透视投影矩阵。

4.1 使用垂直FOV

如果垂直视场为，屏幕宽度和高度已知，则可以使用直角三角形计算左、右、上、下参数。首先，使用半垂直FOV角度的切线找到半高（顶部），然后使用屏幕宽度和高度的纵横比计算半宽（右侧)，具体如下图所示：

 图8.使用垂直FOV的透视投影矩阵

// This creates a symmetric frustum with vertical FOV
// by converting 4 params (fovy, aspect=w/h, near, far)
// to 6 params (l, r, b, t, n, f) 
Matrix4 makeFrustum(float fovY, float aspectRatio, float front, float back)
{
    const float DEG2RAD = acos(-1.0f) / 180;

    float tangent = tan(fovY/2 * DEG2RAD);    // tangent of half fovY
    float top = front * tangent;              // half height of near plane
    float right = top * aspectRatio;          // half width of near plane

    // params: left, right, bottom, top, near(front), far(back)
    Matrix4 matrix;
    matrix[0]  =  front / right;
    matrix[5]  =  front / top;
    matrix[10] = -(back + front) / (back - front);
    matrix[11] = -1;
    matrix[14] = -(2 * back * front) / (back - front);
    matrix[15] =  0;
    return matrix;
}

4.2 使用水平 FOV

 图9.使用水平FOV的透视投影矩阵

首先，用半个水平视场角的切线计算半宽度（右）。然后，使用屏幕宽度和高度的纵横比计算半个高度（顶部）

// This creates a symmetric frustum with horizontal FOV
// by converting 4 params (fovx, aspect=w/h, near, far)
// to 6 params (l, r, b, t, n, f) 
Matrix4 makeFrustum(float fovX, float aspectRatio, float front, float back)
{
    const float DEG2RAD = acos(-1.0f) / 180;

    float tangent = tan(fovX/2 * DEG2RAD);    // tangent of half fovX
    float right = front * tangent;            // half width of near plane
    float top = right / aspectRatio;          // half height of near plane

    // params: left, right, bottom, top, near(front), far(back)
    Matrix4 matrix;
    matrix[0]  =  front / right;
    matrix[5]  =  front / top;
    matrix[10] = -(back + front) / (back - front);
    matrix[11] = -1;
    matrix[14] = -(2 * back * front) / (back - front);
    matrix[15] =  0;
    return matrix;
}

5.正交投影

构建正交投影矩阵相对来说会简单一些。

图8. 正交投影视景体及对应的NDC

eye空间中的所有分量都被线性映射到NDC。我们只需要将长方体缩放为立方体，并将其移动到原点。可以使用线性关系找出GL_PROJECTION的各个元素。

把投影到

把投影到

把投影到

因为对于正交投影w分量不是必须的，所以正交投影矩阵的第4行为(0, 0, 0, 1)。

得到完整的正交投影矩阵如下：

如果视景体是对称的，可以进一步简化为：

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

即：

 故正交投影矩阵被简化为:

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

6.效果图对比