积分定义

$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, 给定复平面 $\mathbb{C}$ 上一条分段光滑曲线 $\gamma (t)\in \mathbb{C},\forall t\in [a,b]$. 将其任意分割成 $n$ 个小段 $a=t_0\le t_1\le \cdots \le t_n=b$, 记 λ = max ⁡ { ∣ γ ( t 1 ) − γ ( t 0 ) ∣ , ⋯   , ∣ γ ( t n ) − γ ( t n − 1 ) ∣ } \lambda=\max\{|\gamma(t_1)-\gamma(t_0)|,\cdots,|\gamma(t_n)-\gamma(t_{n-1})|\} λ=max{∣γ(t1​)−γ(t0​)∣,⋯,∣γ(tn​)−γ(tn−1​)∣}. $\forall {\xi }_i\in [t_{i-1},t_i]$. 如果极限
$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(\gamma ({\xi }_i))(\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1}))$$
存在, 称在曲线 $\gamma$ 上可积，记为 ${\int }_{\gamma }f(z)dz$

令 $f(z)=g(x,y)+\mathbf{i}h(x,y)$,
$${\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_{\gamma }g(x,y)+ih(x,y)d(x+iy)={\int }_{\gamma }g(x,y)dx-h(x,y)dy+i{\int }_{\gamma }g(x,y)dy+h(x,y)dx$$
其实部，虚部分别是两个按向量曲线积分 (第二类曲线积分).

性质

1. 线性
   $${\int }_{\gamma }{k}_1{f}_1(z)+k_2{f}_2(z)dz=k_1{\int }_{\gamma }{f}_1(z)dz+k_2{\int }_{\gamma }{f}_2(z)dz$$

2. 分段可加性 ${\gamma }_1:t\in [a,c]$, ${\gamma }_2:t\in [c,b]$ 而$\gamma ={\gamma }_1\cup {\gamma }_2:t\in [a,b]$
   $${\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz+{\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz$$

3. 定向性
   设两个轨道 $\Gamma ,\gamma :\mathbb{R}\to \mathbb{C}$, $t\in [\alpha ,\beta ]$， 并且 $\Gamma (t)=\gamma (\alpha +\beta -t)$, 则 $\varphi$ 与 $\gamma$ 是同一段轨道，但是沿着 $t$ 增大的方向正好相反。
   $${\int }_{\gamma }f(z)dz=-{\int }_{\Gamma }f(z)dz$$

4. 原函数
   若 $f$ 是全纯的， 且 $\frac{\partial F(z)}{\partial z}=f(z)$， 则称 $F$ 为 $f$ 的原函数。其所有原函数可以由 $F(x)+C$ 给出, $C\in \mathbb{C}$。

5. 全纯函数封闭曲线积分为零
   若在封闭区域 $D$ 内 $f$ 为全纯函数， 则 $${\int }_{\partial D}f(z)dz=0.$$
   设 $\omega =f(z)dz=(g(x,y)+ih(x,y))(dx+idy)$, 由外微分与全纯性
   $d\omega =-(\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial x})dxdy+i(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial h}{\partial y})dxdy=0$
   根据广义Stokes 公式得证
   $0={\int }_{D}d\omega ={\int }_{\partial D}\omega$

由 2, 4 可以得到 5
5. 全纯函数在相同起点与相同重点的曲线上积分相同

亚纯函数

除了在一个孤立点处以外都是解析的，称为亚纯函数

例 $f(z)=\frac{1}{z}$,
若 $0\notin D$, 由于 $D$ 不包含 $0$, 因此 $f$ 在 $D$ 内全纯， 因此积分 ${\int }_{\partial D}\frac{1}{z}dz=0$.
若 $0\in D$, 可以将 $D$ 分为两部分， 定义足够小半径 $r$, 使得圆盘 $r\mathcal{B}\subset D$, 以及 $D\setminus r\mathcal{B}$ 两部分， 由于 $0\notin D\setminus r\mathcal{B}$ 因此这一区域积分为令， 只需考虑 $r\mathcal{B}$ 上的积分，令 $x=r\cos (\theta )$, $y=r\sin (\theta )$, $z=x+iy$,
${\int }_{r\mathcal{B}}\frac{1}{z}dz=i{\int }_0^{2\pi }1d\theta =2i\pi$

6. 柯西公式
   $f$ 在 D 内全纯， $z\in D$， 则 $f(z)={\int }_{\partial D}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$。
   $z\in D$, 则只有 $z$点使得 $\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}$ 关于 $\zeta$ 不是解析的。因此可以分为两个区域，寻找足够小 $r$, $r\mathcal{B}\in D$。令 $\zeta =z+r{e}^{i\theta }$, ${\int }_{\partial D}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =i{\int }_0^{2\pi }f(z+r{e}^{i\theta })d\theta$
   积分与 $r$ 的选取无关， 当 $r\to 0$ 有 $i{\int }_0^{2\pi }f(z+r{e}^{i\theta })d\theta \to 2i\pi f(z)=\frac{f^n(z)}{n!}$ 得证。

泰勒级数

$f$在 $|z-a|<R$ 上全纯， 则有
$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$, $r\in [0,R]$
$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-a|=r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta =\frac{f^{(n)}(z)}{n!},n\in \mathbb{Z}$$

洛朗级数

$f$在 $r<|z-a|<R$ 上全纯， 则有 $\rho \in [r,R]$
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$
$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-a|=\rho }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta ,n\in \mathbb{Z}$$
令 $\varphi (t)=f(e^{it})$, $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\varphi (t)\cos (nt)dt$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\varphi (t)\sin (nt)dt$.
当 $n\ge 0$, $c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$
当 $n\le -1$, $c_n=\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt$