数列的极限

• $\exists A$, $\forall \epsilon >0$, $\exists N\in \mathbf{N}$, $\forall n>N$ 有 $|x_n-A|<\epsilon$, 则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛, 记 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$.

函数在一点处的极限

• $\exists A$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$, $|f(x)-A|<\epsilon$, 则称函数 $f$ 在 $x_0$ 处收敛. 但$A$未必等于 $f(x_0)$, 记 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

函数在无穷远处的极限

• $\exists A$, $\forall X>0$, $\exists X>0$, $\forall x\in (-\infty ,-X)\cup (X,+\infty )$, $|f(x)-A|<\epsilon$, 称函数 $f$ 在无穷远收敛.

极限概念表

无穷小量

在一点处无穷小量

• $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$, $|f(x)|<\epsilon$, 则称函数 $f$ 在 $x_0$ 处无穷小量. 记 $f(x)=o(x-x_0)$.
  计算 $\underset{x\to 0}{\lim }x+x^2$的无穷小量
  `## 在无穷远处无穷小量
• $\forall \epsilon >0$, $\exists X>0$, $\forall x,|x|>X$, $|f(x)|<\epsilon$, 则称函数 $f$ 无穷处是 无穷小量.

无穷小量概念表

无穷小量的比较

• $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小量：${\lim }_x\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$
• $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小量：${\lim }_x\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$
• $\alpha$ 是 $\beta$ 的同阶无穷小量：${\lim }_x\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c\ne 0$
• $\alpha$ 是 $\beta$ 的等价无穷小量：${\lim }_x\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$

等价无穷小量列举

• $x\sim \sin (x)\sim \tan (x)\sim \ln (x+1)\sim \underline{e^x-1}\sim \arcsin (x)\sim \arctan (x)$
• $\frac{x^2}{2}\sim \underline{1-\cos (x)}\sim \underline{x-\ln (1+x)}\sim \underline{e^x-1-x}$
• $\frac{x^3}{2}\sim \underline{\sin (x)(1-\cos (x))}\sim \underline{\tan (x)-\sin (x)}$
• $\frac{x^3}{3}\sim \underline{x-\arctan (x)}\sim \underline{\tan (x)-x}$
• $\frac{x^3}{6}\sim \underline{x-\sin (x)}\sim \underline{\arcsin (x)-x}\sim \underline{\ln (1+x)+1-e^x}$
• $\underline{(1+x{)}^{\alpha }-1}\sim \alpha x$
• $\underline{\sqrt{1+x}-1}\sim \frac{x}{2}$

在一点处无穷大量

• $\forall M>0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$, $|f(x)|>M$, 则称函数 $f$ 在 $x_0$ 处无穷大量. 记 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$.

在无穷远处的正无穷大量

• $\forall M>0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in (-\infty ,-\delta )\cup (\delta ,+\infty )$, $f(x)>M$, 则称函数 $f$ 趋于无穷远处正无穷大量. 记 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$.

无穷大量概念表

正无穷大量概念表

负无穷大量概念表

负无穷大量概念表

极限的性质

• 保加法, 减法, 乘法, 分母不为0的除法
• 保号性, 有界性, 连续函数的复合,
• 夹逼原理: $\lim a(x)=\lim b(x)=A$, $a(x)\le f(x)\le b(x)$ 则 $\lim f(x)=A$
• 单调有界收敛准则
  $\exists M$, $\exists N$, $\forall n\ge N$, $x_n\ge x_{n+1}$ 且 $x_n\ge M$ 则 { x n } \{x_n\} {xn​} 有极限。（单调递减有下界）
  $\exists M$, $\exists N$, $\forall n\ge N$, $x_n\le x_{n+1}$ 且 $x_n\le M$ 则 { x n } \{x_n\} {xn​} 有极限。（单调递增有上界）

函数的连续性

定义

• 定义1 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in U(x_0,\delta )$, $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 连续
• 定义2 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 连续
• 定义3 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta f(x)=0$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 连续
• 定义 $\forall x\in A$, $f$ 在 $x$ 处连续, 则称 $f$ 在 $A$ 上 连续

左连续

• 定义1 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in U(x_0-\delta ,x_0)$, $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 左连续
• 定义2 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 左连续

右连续

• 定义1 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in U(x_0,x_0+\delta )$, $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 右连续
• 定义2 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$ 称 $f$ 在 $x_0$ 处 右连续

性质： $f_1$ 在 $D(f_1)$ 连续, $f_2$ 在 $D(f_2)$ 连续

• 加法封闭： $f_1(x)+f_2(x),x\in D(f_1)\cap D(f_2)$ 连续
• 减法封闭： $f_1(x)-f_2(x),x\in D(f_1)\cap D(f_2)$ 连续
• 乘法封闭： $f_1(x)\cdot f_2(x),x\in D(f_1)\cap D(f_2)$ 连续
• 除法封闭: $\frac{f_1(x)}{f_2(x)},x\in D(f_1)\cap D(f_2)$ 连续 ($f_2(x)\ne 0$)
• 复合封闭: $f_1(f_2(x))$, $x\in D(f_1\circ f_2)$ 连续
• 反函数封闭：$f$在 $D(f)$ 上单调, $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处连续. ($y_0=f(x_0)$)

间断点

第一类间断点

• 可去间断点: $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$, $f(x)=\frac{\sin (x)}{x},x\to 0$.
• 跳跃间断点: $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$, $f(x)=\arctan (\frac{1}{x}),x\to 0$

第二类间断点

• 无穷间断点: $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$ 或者 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$, $f(x)=\frac{1}{x},x\to 0$.
• 震荡间断点：例如 $f(x)=\sin (\frac{1}{x}),x\to 0$.

闭区间 [a,b] 上连续函数

零点存在定理 $f(a)f(b)<0$, $\exists \xi \in (a,b)$, $f(\xi )=0$

介值定理 min ⁡ { f ( a ) , f ( b ) } ≤ c ≤ max ⁡ { f ( a ) , f ( b ) } \min\{f(a),f(b)\}\leq c\leq \max\{f(a),f(b)\} min{f(a),f(b)}≤c≤max{f(a),f(b)}, $\exists \xi \in (a,b)$, $f(\xi )=c$

最值定理 $M=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x)$,$m=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x)$, $\exists {\xi }_1\in (a,b)$, $\exists {\xi }_2\in (a,b)$, $f({\xi }_1)=M$, $f({\xi }_2)=m$.