三明治定理
三明治定理(Sandwich Theorem)又称夹逼定理或夹逼准则,是数学分析中的一个重要定理。它描述了当三个函数在某一区间上满足特定关系时,中间函数的极限可以通过两个外侧函数的极限确定。这个定理广泛应用于极限和连续性的证明中。
具体来说,设 a a a 是一个实数或无穷大,假设在 a a a 的某个去心邻域上,三个函数 f ( x ) f(x) f(x)、 g ( x ) g(x) g(x) 和 h ( x ) h(x) h(x) 满足以下关系:
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) f(x) \leq g(x) \leq h(x) f(x)≤g(x)≤h(x)
如果 lim x → a f ( x ) = lim x → a h ( x ) = L \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L limx→af(x)=limx→ah(x)=L,那么:
lim x → a g ( x ) = L \lim_{x \to a} g(x) = L x→alimg(x)=L
证明过程
- 假设:在 x x x 趋近于 a a a 的过程中, f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) f(x) \leq g(x) \leq h(x) f(x)≤g(x)≤h(x) 恒成立。
- 外侧函数的极限:由于 lim x → a f ( x ) = lim x → a h ( x ) = L \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L limx→af(x)=limx→ah(x)=L,所以对于任意 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0,存在 δ 1 > 0 \delta_1 > 0 δ1>0 和 δ 2 > 0 \delta_2 > 0 δ2>0,使得当 0 < ∣ x − a ∣ < δ 1 0 < |x - a| < \delta_1 0<∣x−a∣<δ1 时,有 ∣ f ( x ) − L ∣ < ϵ |f(x) - L| < \epsilon ∣f(x)−L∣<ϵ,以及当 0 < ∣ x − a ∣ < δ 2 0 < |x - a| < \delta_2 0<∣x−a∣<δ2 时,有 ∣ h ( x ) − L ∣ < ϵ |h(x) - L| < \epsilon ∣h(x)−L∣<ϵ。
- 选择最小的邻域:取 δ = min ( δ 1 , δ 2 ) \delta = \min(\delta_1, \delta_2) δ=min(δ1,δ2),则对于 0 < ∣ x − a ∣ < δ 0 < |x - a| < \delta 0<∣x−a∣<δ,同时有 ∣ f ( x ) − L ∣ < ϵ |f(x) - L| < \epsilon ∣f(x)−L∣<ϵ 和 ∣ h ( x ) − L ∣ < ϵ |h(x) - L| < \epsilon ∣h(x)−L∣<ϵ。
- 夹逼关系的应用:由于 f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) f(x) \leq g(x) \leq h(x) f(x)≤g(x)≤h(x),根据上述不等式,可以得出 L − ϵ < f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) < L + ϵ L - \epsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < L + \epsilon L−ϵ<f(x)≤g(x)≤h(x)<L+ϵ,因此 L − ϵ < g ( x ) < L + ϵ L - \epsilon < g(x) < L + \epsilon L−ϵ<g(x)<L+ϵ。
- 极限结论:由此可得 ∣ g ( x ) − L ∣ < ϵ |g(x) - L| < \epsilon ∣g(x)−L∣<ϵ,说明 lim x → a g ( x ) = L \lim_{x \to a} g(x) = L limx→ag(x)=L。
示例
例子1:证明 lim x → 0 x 2 sin ( 1 x ) = 0 \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 limx→0x2sin(x1)=0
直接求解这个极限可能比较困难,但利用三明治定理可以简化过程。
- 找到两个易于处理的函数:我们知道对于任何 x ≠ 0 x \neq 0 x=0,有 − 1 ≤ sin ( 1 x ) ≤ 1 -1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 −1≤sin(x1)≤1。
- 构造不等式:乘以 x 2 x^2 x2 得到 − x 2 ≤ x 2 sin ( 1 x ) ≤ x 2 -x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 −x2≤x2sin(x1)≤x2。
- 确定极限: lim x → 0 ( − x 2 ) = 0 \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 limx→0(−x2)=0 和 lim x → 0 ( x 2 ) = 0 \lim_{x \to 0} (x^2) = 0 limx→0(x2)=0。
- 应用三明治定理:由三明治定理得 lim x → 0 x 2 sin ( 1 x ) = 0 \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 limx→0x2sin(x1)=0。
例子2:证明 lim x → 0 x cos ( 1 x ) = 0 \lim_{x \to 0} x \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0 limx→0xcos(x1)=0
- 找到两个易于处理的函数:我们知道对于任何 x ≠ 0 x \neq 0 x=0,有 − 1 ≤ cos ( 1 x ) ≤ 1 -1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 −1≤cos(x1)≤1。
- 构造不等式:乘以 x x x 得到 − x ≤ x cos ( 1 x ) ≤ x -x \leq x \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x −x≤xcos(x1)≤x。
- 确定极限: lim x → 0 ( − x ) = 0 \lim_{x \to 0} (-x) = 0 limx→0(−x)=0 和 lim x → 0 ( x ) = 0 \lim_{x \to 0} (x) = 0 limx→0(x)=0。
- 应用三明治定理:由三明治定理得 lim x → 0 x cos ( 1 x ) = 0 \lim_{x \to 0} x \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0 limx→0xcos(x1)=0。
例子3:证明 lim x → ∞ sin x x = 0 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 limx→∞xsinx=0
- 找到两个易于处理的函数:我们知道对于任何 x x x,有 − 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \sin x \leq 1 −1≤sinx≤1。
- 构造不等式:除以 x x x 得到 − 1 x ≤ sin x x ≤ 1 x -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x} −x1≤xsinx≤x1。
- 确定极限: lim x → ∞ ( − 1 x ) = 0 \lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = 0 limx→∞(−x1)=0 和 lim x → ∞ ( 1 x ) = 0 \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x}) = 0 limx→∞(x1)=0。
- 应用三明治定理:由三明治定理得 lim x → ∞ sin x x = 0 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 limx→∞xsinx=0。
例子4:证明 lim x → 0 x 2 cos ( 1 x 2 ) = 0 \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) = 0 limx→0x2cos(x21)=0
- 找到两个易于处理的函数:我们知道对于任何 x ≠ 0 x \neq 0 x=0,有 − 1 ≤ cos ( 1 x 2 ) ≤ 1 -1 \leq \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \leq 1 −1≤cos(x21)≤1。
- 构造不等式:乘以 x 2 x^2 x2 得到 − x 2 ≤ x 2 cos ( 1 x 2 ) ≤ x 2 -x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \leq x^2 −x2≤x2cos(x21)≤x2。
- 确定极限: lim x → 0 ( − x 2 ) = 0 \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 limx→0(−x2)=0 和 lim x → 0 ( x 2 ) = 0 \lim_{x \to 0} (x^2) = 0 limx→0(x2)=0。
- 应用三明治定理:由三明治定理得 lim x → 0 x 2 cos ( 1 x 2 ) = 0 \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) = 0 limx→0x2cos(x21)=0。
通过这些例子可以看到,三明治定理在处理涉及振荡或复杂表达式的极限问题时非常有用。它为我们提供了一种简洁的方法,通过夹逼关系快速求解极限。