2. 样本分布

定义1:
统计量$g(X_1,X_2,...,X_n)$的分布称为抽样分布. 主要介绍与标准正态总体相关的抽样分布.
包括, ${\chi }^2$分布, $t$分布和$F$分布.

2.1 ${\chi }^2$分布

定义2:
设$X_1,X_2,...,X_n$相互独立, 且都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量
$$X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$$
服从自由度为n的${\chi }^2$分布, 记为:
$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$$
性质:

• 1. 可加性
     若$Y_1\sim {\chi }^2(n),Y_2\sim {\chi }^2(m)$, 且$Y_1,Y_2$相互独立, 则有
     $$Y_1+Y_2\sim {\chi }^2(n+m)$$
• 2. 数字特征
     若$Y\sim {\chi }^2(n)$, 则有$E(Y)=n,D(Y)=2n$
     证明: 存在$X_1,X_2,...,X_n$独立同分布, 都服从正态分布, 使得$Y=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$
     $$\begin{array}{rl}E(Y)& =E(X_1^2+X_2^2+...+X_n^2)\\ & =E(X_1^2)+E(X_2^2)+...+E(X_n^2)\\ & =n(D(X_1)+E(X_1^2))\\ & =n\\ D(Y)& =D(X_1^2+X_2^2+...+X_n^2)\\ & =D(X_1^2)+D(X_2^2)+...+D(X_n^2)\\ & =nD(X_1^2)\\ & =n[E(X_1^4)-E(X_1^2{)}^2]\\ & =n[E(X_1^4)-1]\end{array}$$

2.2 $t$分布

定义:
设$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$, 且$X$与$Y$相互独立, 则称随机变量
$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$
服从自由度为n的t分布, 记为
$$T\sim t(n)$$

2.3 $F$分布

设$X\sim {\chi }^2(m),Y\sim {\chi }^2(n)$, 且$X$与$Y$相互独立, 则称随机变量
$$F=\frac{X/m}{Y/n}$$
服从自由度为$(m,n)$的$F$分布, 记为:
$$F\sim F(m,n)$$
性质:
若$F\sim F(m,n)$, 则$\frac{1}{F}\sim F(n,m)$

2.4 分位点

定义:
设连续型随机变量$X\sim f(x)$, 对给定的$\alpha ,0<\alpha <1$, 存在一个实数$x_{\alpha }$,使得
P { X ≤ x α } = ∫ − ∞ x α f ( x ) d x = α P\{X\leq x_\alpha\}=\int_{-\infty}^{x_\alpha}f(x)dx=\alpha P{X≤xα​}=∫−∞xα​​f(x)dx=α
则称$x_{\alpha }$为密度函数$f(x)$的**$\alpha$分位点.**

常用分位点
标准正态分布$u_{\alpha }$
${\chi }_{\alpha }^2$分位点
$t_{\alpha }$分位点
$F_{\alpha }(m,n)$分位点