对单变量函数$f:(a,b)\to R$，我们称$f$在$x_0\in(a,b)$处可微，如果极限

存在。我们也将$f^\prime(x)$写成$df/dx$。等价地，我们可以将上面的公式写成

即

或者

$f^\prime(x)$表示$f$图像在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率，如图1

图1

为了将这概念推广到映射 $f:A\subset R^n\to R^m$上，我们做出下面的定义。

$\textbf{定义1}$ 映射$f:A\subset R^n\to R^m$在$x_0\in A$处可微，如果存在一个线性函数，我们用$Df(x_0):R^n\to R^m$表示并称为$f$在$x_0$处的导数，使得

这里，$Df(x_0)(x-x_0)$表示线性映射$Df(x_0)$与向量$x-x_0\in R^n$得到的值，所以$Df(x_0)(x-x_0)\in R^m$。 以后对于$Df(x_0)(h)$我们写成$Df(x_0)\cdot h$。(因为我们用$\Vert x-x_0\Vert$去除，所以我们取极限的时候排除$x=x_0$)

更明确一点就是，对于每个$\varepsilon>0$，存在一个$\delta>0$使得$x\in A,\Vert x-x_0\Vert<\delta$意味着

在这个公式中我们可以取$x=x_0$，这时候两边都化简为零。

直观上，$x\mapsto f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)$是$f$在点$x_0$ 附近最佳的仿射近似(仿射映射是线性映射加常数)，如图2。在图中我们标明了$f$图像的切线或切平面方程。

图2

$\textbf{定理1}$ 令$A$是$R^n$中的开集并且假设$f:A\to R^m$在$x_0$处可微，那么$Df(x_0)$是由$f$唯一确定。

$\textbf{例1：}$令$f:R\to R,f(x)=x^3$，计算$Df(x),df/dx$。

$\textbf{解：}$从基本微积分只是可知$dx^3/dx=3x^2$，那么在这个例子中$Df(x)$是线性映射

$\textbf{例2：}$说明一般而言，$Df$不是唯一确定的。

$\textbf{解：}$例如，如果$A=\{x_0\}$是单点，那么任何$Df(x_0)$都满足条件，因为$x\in A$，那么只有$x=x_0$时$\Vert x-x_0\Vert<\delta$才成立，而这时表达式

的值是零。

注意：如果有人看定理1证明的话，将会看出$Df(x)$在大于开集的集合中依然是唯一的(假设它存在)，例如该定理对于$R$上的闭区间或$R^n$中的邻域均有效。

接下来我们回顾一下单变量函数微分的一些基本事实，尤其是逻辑上是如何导出重要的均值定理的，之后我们会将这些想法推广到多变量函数上。

$\textbf{事实1}$ 如果$f:(a,b)\to R$在点$c\in(a,b)$处可微且$f$在$c$点有最大值(或者最小值)，那么$f^\prime(c)=0$。

$\textbf{证明：}$令$f$在$c$处有最大值，那么对于$h\geq0,[f(c+h)-f(c)]/h\leq 0$，因此令$h\to 0,h\geq0$，我们可以得出$f^\prime(c)\leq0$。同样地对于$h\leq0$，我们可以得出$f^\prime(c)\geq0$，因此$f^\prime(c)=0$。$||$

上面这个结论几何上非常直观。

$\textbf{事实2}$(罗尔定理) 如果$f:[a,b]\to R$是连续的，$f$在$(a,b)$上可导并且$f(a)=f(b)=0$，那么存在一个数$c\in(a,b)$使得$f^\prime(c)=0$。

$\textbf{证明：}$如果对于所有的$x\in[a,b],f(x)=0$，那么我们可以任意选择一个数做为$c$，所以我们假设$f$不恒等于令，根据前面学到的内容可知，存在点$c_1$使得$f$得到最大值，存在点$c_2$使得$f$得到最小值。根据我们的假设以及事实$f(a)=f(b)=0,c_1,c_2$中至少存在一个点位于$(a,b)$ 中。如果$c_1\in(a,b)$，那么我们利用事实1可得$f^\prime(c_1)=0$；$c_2$同样如此。$||$

$\textbf{事实3}$(均值定理) 如果$f:[a,b]\to R$是连续的且在$(a,b)$上可导，那么存在点$c\in(a,b)$使得$f(b)-f(a)=f^\prime(c)(b-a)$。

$\textbf{证明：}$令$\varphi(x)=f(x)-f(a)-(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)$(如图$\ref{fig:6-3}$) 并应用罗尔定理。$||$

$\textbf{推论}$ 如果$(a,b)$上$f^\prime=0$，那么$f$是常数。

$\textbf{证明：}$应用事实3到$[a,x]$的$f$上可以得到$f(x)-f(a)=f^\prime(c)(x-a)=0$，所以对于所有的$x\in[a,b],f(x)=f(a)$，因此$f$是常数。

$\textbf{例3：}$令$f:(a,b)\to R$是可微的且$|f^\prime(x)|\leq M$，证明对所有的$x,y\in(a,b),|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$。

$\textbf{解：}$根据均值定理，存在某个$c\in(x,y)$使得

然后取绝对值就得出所要的结论。

图3