李德乐：低阶群的特征标表

http://www.doc88.com/p-536463154451.html
1-10阶群的不等价不可约的特征标表示http://www.docin.com/p-61145443.html
阅读指引：本文着重计算非Abel群的特征标表。
大多数偶数阶Abel群特征标表的计算其实就是模n的Dirichlet特征的计算，请参看《数论中偶数阶Abel群的阶》这篇文章：https://blog.csdn.net/u010401391/article/details/104693545
有限群共轭类数目的计算请参看《有限群共轭类的计算》这篇文章：https://www.cnblogs.com/Ivanhan2019/p/12419767.html
摘要：本文主要讨论了通过群的同构分类的观点系统给出了低阶（31阶以下）群的特征标表。为了解决这一问题，本文引用一个主要定理（文献1），通过这个定理解决了24阶群的所有同构分类情况。
本文具体分析了群的结构。第二章，我们证明一些有关群同构理论和特征标的理论。第三章，我们主要探讨低阶群的同构关系。第四章，我们利用低阶群的同构关系构造其相应的特征标表。
关键词：生成关系；同构；特征标。
引言
本文主要的目的是通过群作用的观点系统的给出了低阶群（30阶群以下）的各种分类情况以及生成关系。为了解决这一问题，主要是16阶群和24阶群的所有同构分类情况。16阶群在文献[3]中和文献[11]已经具体给出各种生成关系和特征标表。为了解决24阶群的所有同构分类情况，本文引进了一个主要的定理。
定理1给出了半直积同构的一个充分必要条件。这样，我们就可以一一讨论24阶群的所有生成关系。
这样，我们可以分为三种情况来一一构造群的特征标表，第一种为循环群，第二种为交换群，第三种为非交换群。其中构造非交换群的特征标表比较复杂，我们利用同构关系逐一构造出来。
表1：低阶群的阶数与群数对应表
gap> for i in [1..30] do Print(NumberSmallGroups(i),"种",i,"阶群,"); od;
1种1阶群,1种2阶群,1种3阶群,2种4阶群,1种5阶群,2种6阶群,1种7阶群,5种8阶群,2种9阶群,2种
10阶群,1种11阶群,5种12阶群,1种13阶群,2种14阶群,1种15阶群,14种16阶群,1种17阶群,5种18阶群,1种
19阶群,5种20阶群,2种21阶群,2种22阶群,1种23阶群,15种24阶群,2种25阶群,2种26阶群,5种27阶群,4种
28阶群,1种29阶群,4种30阶群,
本文将上面阶数所对应的群的生成关系一一讨论，对应其特征表构造出来。
第一章预备知识
从群G的特征标表可得到关于G的大量群论方面的信息，我们可以找到其中心化子与共轭类的基数，正规子群，与其导群之间的关系。
第二章群的同构和特征标
引理2.5：循环群的自同构群是交换群。有限循环群C_n有φ(n)个自同构，Aut(C_n)=(Z/nZ)^*。
引理2.6：（N/C定理）设H{<=}G，则N_G(H)/C_G(H)同构于Aut(H)的一个子群。
第三章低阶群的同构分类
结论3.11.2设G是16阶有限非交换群，分为三种情况讨论：（假设K=G'∩Z(G)）
第一种：G若有8阶循环子群（G/K=D_8）,则
二面体群SmallGroup(16,7)
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 7 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(3))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 8 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-3))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 6 ]
或广义四元数群SmallGroup(16,9)
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2*(F.1^4)^(-1), F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 9 ]
以下说明上述4种群彼此互不同构。
第二种设G是16阶有限交换群，且没有8阶循环子群，但4阶循环子群正规，（G/K=C_2×C_2×C_2）则
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^4, F.2^4, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 4 ]
SmallGroup(16,11)=D_8×C_2【注：原文中抄错了？】
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2 * F.3 * (F.3*F.2)^(-1),F.1*F.3*(F.3*F.1)^(-1),(F.2*F.1*F.2^(-

1))*F.1];;IdGroup(G);
[ 16, 11 ]
或
SmallGroup(16,12)=Q_8×C_2【注：原文中抄错了？】
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^2*(F.2^2)^(-1),F.1^2*((F.1*F.2)^2)^(-1),F.3^2,F.2 * F.3 * (F.3*F.2)^(-1),F.1*F.3*

(F.3*F.1)^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 12 ]
因而，上述三群彼此互不同构。
第三种设G是16阶有限交换群，没有8阶循环子群，且4阶循环子群部正规，（G/K=C_4×C_2）则
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2^(-1) * F.1*F.2 * F.1^(-1),F.3^(-1)*F.1*F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.3^

(-1)*F.2*F.3*F.2^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 3 ]
第四章低阶群的特征标表
本章分为三种情况来构造低阶群的特征标表。
第一种：循环群C_n的特征标表

奇数阶循环群C_3的特征标表
gap> C3:=GroupWithGenerators([E(3)]);;L:=Elements(C3);IdGroup(C3);for i1 in L do for i2 in L do Print(Position(L,i1*i2)," ");od;Print("\n");od;n:=Size(L);for i in [1..n] do Print(i,"->",L[i],",",Order(L[i]),"阶元\n");od; [ 1, E(3)^2, E(3) ]
[ 3, 1 ]
1 2 3
2 3 1
3 1 2
3
1->1,1阶元
2->E(3)^2,3阶元
3->E(3),3阶元
gap> A:=E(3);;L1:=[1,A,1/A];X1:=[1,1,1];X2:=[1,A,1/A];X3:=[1,1/A,A];XL:=[X1,X2,X3];;for Xi in XL do for i1 in Xi do Print(Position(L1,i1)," ");od;Print("\n");od;
[ 1, E(3), E(3)^2 ]
[ 1, 1, 1 ]
[ 1, E(3), E(3)^2 ]
[ 1, E(3)^2, E(3) ]
1 1 1
1 2 3
1 3 2
循环群的同态像是循环群：
Imφ1={1}=C_1
Imφ2=Imφ3={1,2,3}=C_3

gap>g:=CyclicGroup(3);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 3, 1 ]
CT3

3 1 1 1

1a 3a 3b

X.1     1 1 1
X.2     1 A /A
X.3     1 /A A

A = E(3)
= (-1+Sqrt(-3))/2 = b3

第二种：Abel群（也包括初等交换群）的特征标表：
第三种：非交换群的特征标表：本节利用第一章的定义分别讨论。
（Ⅰ）二面体群D_2n的特征标表
D_3
1,1,1
1,1,-1
2,-1,0
D_4
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
D_5
p=2cos(2pi/5)=(sqrt(5)-1)/2
p^(-1)=-2cos(4pi/5)=(sqrt(5)+1)/2
1,1,1,1
1,1,1,-1
2,p,-p^(-1),0
2,-p^(-1),p,0

gap> g:=DihedralGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5

2 3 2 2 3 2

1a 2a 4a 2b 2c

X.1     1 1 1 1 1
X.2     1 -1 1 1 -1
X.3     1 1 -1 1 -1
X.4     1 -1 -1 1 1
X.5     2 . . -2 .
gap> g:=QuaternionGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6

2 3 2 2 3 2

       1a 4a 4b 2a 4c
    2P 1a 2a 2a 1a 2a
    3P 1a 4a 4b 2a 4c

X.1     1 1 1 1 1
X.2     1 -1 -1 1 1
X.3     1 -1 1 1 -1
X.4     1 1 -1 1 -1
X.5     2 . . -2

（Ⅱ）置换群S_n和交代群A_n的特征标表

对称群S_3共有6个元素，因此不可约表示的维数只可能是1和2，它只有3个不可约特征标，1+1+2^2=6，不难得出其特征标表：
gap> g:=SymmetricGroup(3);;cl:=ConjugacyClasses(g);L1:=List(cl,Representative);L2:=List(cl,Centralizer);L3:=List(L2,IdGroup);L4:=List(cl,Size);tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G ]
[ (), (1,2), (1,2,3) ]
[ Group([ (1,3), (2,3) ]), Group([ (1,2) ]), Group([ (1,2,3) ]) ]
[ [ 6, 1 ], [ 2, 1 ], [ 3, 1 ] ]
[ 1, 3, 2 ]
CT2

2 1 1 .
3 1 . 1

       1a 2a 3a
    2P 1a 1a 3a
    3P 1a 2a 1a

X.1     1 -1 1
X.2     2 . -1
X.3     1 1 1
注意：D_3或S_3、D_4特征标表中的.是0。
由乘法表写出群G的正则表示[群元用|G|*|G|矩阵表示]及内禀正则表示？
G=S_3={I,r,r^2,f,fr,fr^2}={I,f

李德乐：低阶群的特征标表

悦读