频域分析

控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、快速性和准确性。
时域法比较直观，但对于高阶系统阶数越高时域法越难求解特征根，所以比较适用于三、四阶以下的系统。但时域法比较难确定应该如何调整系统结构或参数才能获得预期的效果。因此，工程上出现了两种简便的分析方法：频率法和根轨迹法。
最常见的是频率法，原因是：
（1）在频域内分析系统不需求解特征根，便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等一系列特性，简化运算同时能有效准确的回答系统稳、准、快的问题；
（2）具有现实应用意义，可以使用频率特性分析仪等测试手段来准确测量控制系统的频率特性作为系统设计与综合的依据。可以省去一些复杂系统的或难于列写微分方程的系统的建模与计算工作；
（3）频率法便于对系统分析、综合与校正，以有效的改善控制系统品质，达到预期效果，并且可以拓展应用到某些非线性系统分析中去。

频率特性的基本概念

频率响应：控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。
频率特性：稳态的输出与输入正弦信号的幅值比A(ω)、相位差ψ(ω)随输入频率ω的变化规律。
对于线性系统来说，为什么输入正弦信号，稳态输出一定是正弦信号呢？

正弦输入对应线性系统稳态正弦输出的原因

设控制系统的传递函数G(s)
$$G(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+...+b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_{1}s+a_0}(n\ge m)$$
输入为一正弦波，即r(t)=R_0 sin(ωt)，拉氏变换得
$$R(s)=R_0\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
系统输出为
$$C(s)=G(s)R(s)=G(s)R_0\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
设传函的分母可因式分解为
$$G(s)=\frac{p(s)}{q(s)}=\frac{p(s)}{(s-s_1)(s-s_2)...(s-s_n)},其中s_i各不相同$$
如果系统稳定则s_i的实部为负数；
结合上式可整理得出
$$C(s)=\frac{a}{s+j\omega }+\frac{\overline{a}}{s-j\omega }+\frac{k_1}{s-s_1}+\frac{k_2}{s-s_2}+...+\frac{k_n}{s-s_n}$$
其中，a，a_ ---- 待定共轭复数；
k_i ----待定常数；
将C(s)进行拉氏变换得
$$c(t)=a{e}^{-j\omega t}+\overline{a}{e}^{-j\omega t}+k_1{e}^{s_{1}t}+k_2{e}^{s_{2}t}+...+k_n{e}^{s_{n}t},(t\ge 0)$$
当t→∞时，对稳定系统而言，上式中，e^(s_i t)均趋于0。于是
$$\underset{t\to \infty }{c(t)}=a{e}^{-j\omega t}+\overline{a}{e}^{-j\omega t}$$
留数法求待定共轭系数：
$$\begin{gathered} a=G(s)R_0\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}(s+j\omega ){|}_{s=-j\omega }=-\frac{R_{0}G(-j\omega )}{2j} \\ \overline{a}=G(s)R_0\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}(s-j\omega ){|}_{s=j\omega }=\frac{R_{0}G(j\omega )}{2j} \end{gathered}$$
其中，
$$\begin{gathered} G(-j\omega )=|G(-j\omega )|e^{-j\varphi } \\ G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\varphi } \end{gathered}$$
$|G(j\omega )|$表示$G(j\omega )$的幅值，$\varphi$表示$G(j\omega )$的相位。
$\varphi =arctg\frac{Im(G(j\omega ))}{Re(G(j\omega ))}$
将a和$\overline{a}$带入可得出
$$c(t)=R_0|G(j\omega )|\frac{e^{j(\omega t+\varphi )}-e^{j(\omega t+\varphi )}}{2j}=R_0|G(j\omega )|sin(\omega t+\varphi )=A(\omega )R_{0}sin(\omega t+\varphi )$$
注：欧拉公式，$e^{j(\omega t+\varphi )}=cos(\omega t+\varphi )+jsin(\omega t+\varphi )$
至此，推出输入为正弦信号，稳态输出也必定为正弦信号。
也可以将传函表示为：
$$G(j\omega )=U(\omega )+jV(\omega )$$
于是可得，
$A(\omega )=\sqrt{[U(\omega ){]}^2+[V(\omega ){]}^2}$-----稳态输出量与输入量的幅值比，幅频特性；

$\varphi (\omega )=arctg\frac{V(\omega )}{U(\omega )}$-----稳态输出量与输入量的相位差，相频特性；
$U(\omega )=A(\omega )cos[\varphi (\omega )]$
$V(\omega )=A(\omega )sin[\varphi (\omega )]$
$G(j\omega )=A(\omega )[cos[\varphi (\omega )]+jsin[\varphi (\omega )]]=A(\omega )e^{j\varphi (\omega )}$
注：$G(j\omega )$与$G(-j\omega )$关于实轴对称，相角相反。

至此，得出使用s=jω带入传函G(s)即可得出系统的幅值、相位，对应的幅频特性、相频特性的原因和公式。
例
某系统传函为$\frac{7}{3s+2}$，当输入为1/7sin(2t/3 + 45°)时，求系统的稳态输出。

当线性系统输入正弦信号时，系统稳态输出的是与输入同频率的正弦信号，输出的幅值和相位与系统的幅频特性和相频特性有关。
由题目得出$G(s)=\frac{7}{3s+2}$
则$G(j\omega )=\frac{7}{3(j\omega )+2}=\frac{7(2-j3\omega )}{4+9\omega }$
易得，
$A(\omega )=\frac{7}{\sqrt{4+9\omega }}$
$\varphi (\omega )=-arctg(\frac{3\omega }{2})$
由题目得，
$r(t)=1/7sin(2t/3+45°)$，则
1/7A(2/3) = 1/7$\frac{7}{\sqrt{4+9(2/3{)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\varphi (2/3)+45°=-arctg((3/2)(2/3))+45°=0°$
于是得出，
$c(t)=\frac{\sqrt{2}}{4}sin(\frac{2}{3}t)$

• 频率特性的图形表示方法
  通常使用三种形式表示：
  （1）幅相频率特性图：在极坐标系上表示$|G(j\omega )|$与$\angle G(j\omega )$的关系，也称耐魁斯特(Nyquist)图，简称奈氏图；
  （2）对数频率特性图：在半对数坐标系上表示的幅频特性图和相频特性图组成，也称伯德(Bode)图，目前应用最多的一种表示方法；
  （3）对数幅相频特性图：在对数坐标系中表示的$|G(j\omega )|$与$\angle G(j\omega )$的关系，又称尼柯尔斯(Nichols)图。

奈氏图

频率特性$G(j\omega )$是一个矢量，在复平面可以随$\omega$变化改变大小和方向；
①比例环节

传函：$G(s)=K$
频率特性：$G(j\omega )=K$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=\sqrt{K^2+0}=K$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg\frac{V}{U}=arctg\frac{0}{K}=0°$

②积分环节

传函：$G(s)=\frac{1}{s}$
频率特性：$G(j\omega )=\frac{1}{j\omega }=-j\frac{1}{\omega }$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\frac{1}{\omega },当\omega \to 0,|G(j\omega )|\to \infty ；当\omega \to \infty ,|G(j\omega )|\to 0$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg\frac{-\frac{1}{\omega }}{0}=-90°$

③微分环节

传函：$G(s)=s$
频率特性：$G(j\omega )=j\omega$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=\sqrt{0+{\omega }^2}=\omega$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg\frac{\omega }{0}=90°$

④惯性环节

传函：$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$
频率特性：$G(j\omega )=\frac{1}{jT\omega +1}=\frac{1}{(T\omega {)}^2+1}-j\frac{T\omega }{(T\omega {)}^2+1}$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=\frac{1}{\sqrt{1+(T\omega {)}^2}}$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(-T\omega )$
这里，虚频特性和实频特性之比为$\frac{V}{U}=-T\omega$带入实频特性得出，
$U=\frac{1}{1+(\frac{V}{U}{)}^2},变形得到，(U-\frac{1}{2}{)}^2+V^2=(\frac{1}{2}{)}^2,V(\omega )<0，则为实轴下方的半圆，半径0.5，圆心(0.5，j0)$

⑤一阶微分环节

传函：$G(s)=Ts+1$
频率特性：$G(j\omega )=j\omega +1$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=\sqrt{1+(T\omega {)}^2}$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(T\omega )$
一阶惯性环节的频率特性为复平面上经过(1,j0)的平行于虚轴在实轴上方的射线。

⑥振荡环节

传函：$G(s)=\frac{1}{T^2{s}^2+2\zeta Ts+1}$
频率特性：$G(j\omega )=\frac{1}{(Tj\omega {)}^2+2\zeta Tj\omega +1}=\frac{1-(T\omega {)}^2}{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}-j\frac{2\zeta T\omega }{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=\frac{1}{\sqrt{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}}$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(\frac{-2\zeta T\omega }{1-(T\omega {)}^2})$

⑦二阶微分环节

传函：$G(s)=T^2{s}^2+2\zeta Ts+1$
频率特性：$G(j\omega )=(Tj\omega {)}^2+2\zeta Tj\omega +1=[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega )$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=\sqrt{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(\frac{2\zeta T\omega }{1-(T\omega {)}^2})$

⑧延迟环节

传函：$G(s)=e^{-Ts}$
频率特性：$G(j\omega )=e^{-jT\omega }=cos(T\omega )-jsin(T\omega )$
幅频特性：$|G(j\omega )|=\sqrt{U^2+V^2}=1$
相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=-T\omega$
$\varphi (\omega )>0,相位超前；\varphi (\omega )<0,相位滞后；$

$G(s)=\frac{1}{s^n},\varphi (\omega )=n(-90°)；$
$G(s)=s^n,\varphi (\omega )=n(90°)；$

零型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统的奈氏图绘制

（1）零型系统
曲线起始于(k,j0)，从起始点-90°方向出发，终止于(0,j0),进入终止点的入射角为(n-m)(-90°)

（2）Ⅰ型系统
曲线起始于平行于负虚轴的直线，从起始点-90°方向出发，终止于(0,j0),进入终止点的入射角为(n-m)(-90°)

（3）Ⅱ型系统
曲线起始于平行于负实轴的一条直线，从起始点-180°方向出发，终止于(0,j0),进入终止点的入射角为(n-m)(-90°)

注：不想写了，直接贴以前的笔记，-_-||

伯德图

对数频率的引入大大简化了计算和绘图工作量，采用对数坐标后，幅值的乘法运算变为加法运算。
对任一环节的频率特性取自然对数：
$$lnG(j\omega )=ln[|G(j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}]=ln|G(j\omega )|+j\varphi (\omega )$$
对数幅频特性：$ln|G(j\omega )|$
对数相频特性：$\varphi (\omega )$
注：实际中常使用，以10为底的对数表示对数幅频特性。
对数幅频特性记为：$L(\omega )=20lg|G(j\omega )|$
当横轴的两个频率点${\omega }_1,{\omega }_2,在\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=10$
则，$lg(\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1})=1$，表示横轴上频率变化10倍，在横轴上表为线段长度为一个单位，称为一个"十倍频程"，用dec表示。和均分式坐标表示相比，横轴使用对数表示，纵轴使用均匀分度表示，减小了在横纵轴均分表示时的表示范围，更易于表示。

基本环节对数频率特性

①比例环节

传函：G(s)=K
频率特性：$G(j\omega )=K$
对数幅频率性：$L(\omega )=20lg(|G(j\omega )|)=20lgK$
对数相频特性：$\varphi (\omega )=\angle G(j\omega )=0°$

②积分环节

传函：$G(s)=\frac{1}{s}$
频率特性：$G(j\omega )=\frac{1}{j\omega }=\frac{1}{\omega }{e}^{-j\frac{\pi }{2}}$
对数幅频率性：$L(\omega )=20lg(|G(j\omega )|)=20lg\frac{1}{\omega }=-20lg\omega$
对数相频特性：$\varphi (\omega )=\angle G(j\omega )=-90°$

③微分环节

传函：$G(s)=s$
频率特性：$G(j\omega )=j\omega =\omega e^{j\frac{\pi }{2}}$
对数幅频率性：$L(\omega )=20lg(|G(j\omega )|)=20lg\omega$
对数相频特性：$\varphi (\omega )=\angle G(j\omega )=90°$

④惯性环节

传函：$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$
频率特性：$G(j\omega )=\frac{1}{jT\omega +1}=\frac{1}{(T\omega {)}^2+1}-j\frac{T\omega }{(T\omega {)}^2+1}=\frac{1}{jT\omega +1}{e}^{-j\varphi (\omega )}$
对数幅频特性：$L(\omega )=20lg\sqrt{U^2+V^2}=-20lg\sqrt{1+(T\omega {)}^2}$
对数相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(-T\omega )$

⑤一阶微分环节

传函：$G(s)=Ts+1$
频率特性：$G(j\omega )=jT\omega +1==\sqrt{1+(T\omega {)}^2}{e}^{j\varphi (\omega )}$
对数幅频特性：$L(\omega )=20lg\sqrt{U^2+V^2}=20lg\sqrt{1+(T\omega {)}^2}$
对数相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(T\omega )$

⑥振荡环节

传函：$G(s)=\frac{1}{T^2{s}^2+2\zeta Ts+1}$
频率特性：$G(j\omega )=\frac{1}{(Tj\omega {)}^2+2\zeta Tj\omega +1}=\frac{1-(T\omega {)}^2}{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}-j\frac{2\zeta T\omega }{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}=\frac{1}{\sqrt{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}}{e}^{-j\varphi (\omega )}$
对数幅频特性：$L(\omega )=20lg\sqrt{U^2+V^2}=-20lg\sqrt{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}$
对数相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=-arctg(\frac{2\zeta T\omega }{1-(T\omega {)}^2})$

⑦二阶微分环节

传函：$G(s)=T^2{s}^2+2\zeta Ts+1$
频率特性：$G(j\omega )=(Tj\omega {)}^2+2\zeta Tj\omega +1=[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega )=\sqrt{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}{e}^{j\varphi (\omega )}$
对数幅频特性：$L(\omega )=20lg\sqrt{U^2+V^2}=20lg\sqrt{[1-(T\omega {)}^2{]}^2+(2\zeta T\omega {)}^2}$
对数相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=arctg(\frac{2\zeta T\omega }{1-(T\omega {)}^2})$

⑧延时环节

传函：$G(s)=e^{-Ts}$
频率特性：$G(j\omega )=e^{-jT\omega }=cos(T\omega )-jsin(T\omega )$
对数幅频特性：$|G(j\omega )|=20lg\sqrt{U^2+V^2}=20lg1=0$
对数相频特性：$\angle G(j\omega )=\varphi (j\omega )=-T\omega$

基本环节的对数频率特性及其渐近线的特点，可归纳为：
（1）比例环节的对数幅值为平行横轴的直线，其相位为0°线(与$\omega$无关)；
（2）积分环节和微分环节的对数幅值为过(1,0)点，斜率分别为-20dB/dec、20dB/dec，对称于横轴的直线，相位分别为-90°，90°(与$\omega$无关)；
（3）惯性环节和一阶微分环节的对数幅值低频渐近线为0分贝线，高频渐近线斜率分别为：-20dB/dec、20dB/dec，转角频率为${\omega }_T$，对称于横轴。相位在0 ~ -90°、0~90°范围内变化。曲线斜分别对称于弯点(${\omega }_T$，-45°)、(${\omega }_T$，45°)；
（4）振荡环节和二阶微分环节对数幅值的低频渐近线为0分贝线，高频渐近线的斜率分别为-40dB/dec、40dB/dec，转角频率为${\omega }_T$，对称于横轴。相位在0 ~ -180°、0~180°范围内变化。曲线斜分别对称于弯点(${\omega }_T$，-90°)、(${\omega }_T$，90°)；
（5）延时环节的对数幅值为0分贝线，相位随$\omega$成线性变化。

三型系统bode画法

（1）零型系统对数幅频特性渐近线
①找出所有环节的转折频率；
②从低频画向高频，从纵轴上量出20lgK，并通过该点做一条水平线，每经过一个典型环节斜率改变一次：
$(Ts+1{)}^{\pm n},斜率在原来基础上改变\pm n\cdot 20dB/dec$
$((Ts{)}^2+2\zeta Ts+1{)}^{\pm n},斜率在原来基础上改变\pm n\cdot 40dB/dec$
例，$G(s)=\frac{200}{(s+2)(s+10)}=\frac{10}{(\frac{1}{2}s+1)(\frac{1}{10}s+1)}$

（2）Ⅰ型系统对数幅频特性渐近线
①找出所有环节的转折频率；
②从低频画向高频，通过点（$\omega =1$，20lgK）做一条斜率为-20dB/dec的斜线，每经过一个典型环节斜率改变一次：
$(Ts+1{)}^{\pm n},斜率在原来基础上改变\pm n\cdot 20dB/dec$
$((Ts{)}^2+2\zeta Ts+1{)}^{\pm n},斜率在原来基础上改变\pm n\cdot 40dB/dec$
例，$开环传函G(s)=\frac{4(\frac{1}{2}s+1)}{s(2s+1)(\frac{1}{64}{s}^2+\frac{1}{20}s+1)}$

（3）Ⅱ型系统对数幅频特性渐近线
①找出所有环节的转折频率；
②从低频画向高频，通过点（$\omega =1$，20lgK）做一条斜率为-40dB/dec的斜线，每经过一个典型环节斜率改变一次：
$(Ts+1{)}^{\pm n},斜率在原来基础上改变\pm n\cdot 20dB/dec$
$((Ts{)}^2+2\zeta Ts+1{)}^{\pm n},斜率在原来基础上改变\pm n\cdot 40dB/dec$
例，开环传函$G(s)=\frac{10}{s^2(s+2)}=\frac{5}{s^2(\frac{1}{2}s+1)}$

• 注：
  ①渐近线与$\omega$轴交点为剪切频率（或幅值穿越频率），用${\omega }_c$表示；
  ②${\omega }_c$决定着系统的快速性，${\omega }_c$越大快速性越好；
  ③相角裕度$\gamma =\varphi ({\omega }_c)+180°$，$\gamma$决定着系统的相对稳定性，$\gamma$值越大，系统的相对稳定性越好；
  ④由于${\omega }_c$与快速性有关，又影响着相对稳定性，所以很重要而且有必要判断直线是在$\omega$轴上方还是下方发生转折，进而求取直线与$\omega$轴交点${\omega }_c$。
  ⑤幅频特性每经过一个转折频率斜率改变一次；相频特性是相互叠加。

闭环系统的频域三个性能指标

①截止频率和带宽
截止频率，指闭环对数幅值$L(\omega )$下降到-3dB（即振幅$M(\omega )$衰减到0.707$M(0)$）时的角频率，记为${\omega }_b$；
带宽，指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围$（0\le {\omega }_{BW}\le {\omega }_b）$，带宽表征了系统响应的快速性。

• 对系统带宽的要求要综合考虑这两方面：
  a，响应速度的要求，响应速度越快，要求带宽越宽；
  b，高频滤波的要求，为滤掉高频噪声，带宽又不能太宽；

②谐振峰值$M_r$和谐振频率${\omega }_r$
谐振峰值，闭环频率特性幅值的极大值$M_r$；$M_r$标志着系统相对稳定性；
谐振频率，系统谐振峰值发生处的频率，记为${\omega }_r$；表征系统响应速度；

③剪切率
剪切率，指对数幅值曲线在截止频率${\omega }_b$附近的斜率，在该处曲线斜率越大，高频噪声衰减得越快。剪切率表征了系统从噪声中辨别信号的能力；

相角裕度和幅值裕度

相角穿越频率，增益穿越频率