求证圆面积公式（定积分）

求证圆面积公式：

首先圆面积公式是 $\Pi r^{2}$ ，r是半径，最后把定积分推成 $\Pi r^{2}$ 就可以了。我们知道被积函数不能为负，而且让圆心在(0,0)更好算，所以我们只能在x轴的上方画一个半圆，下图所示：

所以被积函数已经确定了是 $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}(r>0)$ (r为半径)，然后我们观察一下积分的区间，发现积分的上限为r，下限为-r，写出来就是 $\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$ ，然后求解定积分（半圆）就可以了。

第一步：用牛顿-莱布尼茨公式展开，得 $\int \sqrt{r^{2}-r^{2}}dx-\int \sqrt{r^{2}-(-r)^{2}}dx$ ，由于牛顿-莱布尼茨公式的不定积分不需要加常数，所以求解得 $\frac{1}{2}(r\sqrt{r^{2}-r^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{r}{r})-\frac{1}{2}((-r)\sqrt{r^{2}-(-r)^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{-r}{r})$

第二步：化简 $\frac{1}{2}(r\sqrt{r^{2}-r^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{r}{r})-\frac{1}{2}((-r)\sqrt{r^{2}-(-r)^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{-r}{r})$ ，

$\frac{1}{2}(r\sqrt{r^{2}-r^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{r}{r})-\frac{1}{2}((-r)\sqrt{r^{2}-(-r)^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{-r}{r})$ = $\frac{1}{2}[(r\sqrt{r^{2}-r^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{r}{r})-((-r)\sqrt{r^{2}-(-r)^{2}}+r^{2}\arcsin \frac{-r}{r})]$ = $\frac{1}{2}[r^{2}\arcsin \frac{r}{r}-r^{2}(-\arcsin \frac{r}{r})]$ = $\frac{1}{2}[r^{2}\arcsin 1+r^{2}\arcsin 1]$ = $r^{2}\arcsin 1$
第三步：计算 $r^{2}\arcsin 1$ ，由于 $\arcsin 1$ 等于 $\frac{\Pi }{2}$ ，所以 $r^{2}\arcsin 1$ 就等于 $\frac{\Pi r^{2}}{2}$ ，但别忘了 $\frac{\Pi r^{2}}{2}$ 只是求半圆，所以我们还要乘2，得 $\Pi r^{2}$

求证圆面积公式（定积分）

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