数论中的构造问题

竞赛笔记

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在组合极值问题中，我们往往会需要构造满足某个条件的数，有时这是比论证更艰难的；有时这可以作为突破口，帮助我们找到论证的方法。需要多方面论证的组合极值问题一般是竞赛中难度很高的问题，要处理它们首先要建立构造的基础思想。有些数论问题能帮助我们先建立这个基础思想，这篇文章中我们就来看一些竞赛中的数论构造问题。(1)通式构造
通式构造就是直接从一般的情况进行考虑，写出满足某种条件的数。这类问题比较巧妙，但也有方法可循。例1. 证明：存在无穷多个正整数，对于每个，都能找到个两两不等的正整数，使得。分析：本题的目标是构造出这样的正整数，要使得它们最大公约数两两之和便于计算。要对最大公约数进行简单的表示，最容易利用的是等比数列。但是仅利用等比数列不能保证原式成立，还需要设置一个机动项便于调整剩下的部分。
具体构造过程如下：设，则，，而注意到。只要考虑中2的幂次便能求出和式的值，因此取则有，则，故令即可。例2. 对有限集，一个的分拆被称为好分拆，当且仅当中所有元素的最小公倍数等于中所有元素的最大公约数。求的最小值，使得存在一个