Chapter 13 Factor Analysis

本篇是第十三章，内容是因子分析。

这篇博客的完整内容包含各类数学表达。可以见我CSDN和hexo搭的个人博客。

CSDN博客

1 因子分析概念

因子分析是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。

即一种用来在众多变量中辨别、分析和归结出变量间的相互关系并用简单的变量(因子)来描述这种关系的数据分析方法。

寻求基本结构

通过因子分析，找出几个较少的有实际意义的因子，反映出原来数据的基本结构。

通常找出的这组观察不到的因子概括了原始的变量的大多数信息。

数据简化

强相关问题会对分析带来困难。

通过因子分析，可以用所找出的少数几个因子代替原来的变量做回归分析、聚类分析、判别分析等。

因子分析的用途

产生新的、更少的变量以便为后续的回归和其他分析做基础。

识别概念或产品的基本感知和特性。

改善市场研究领域多元测量的结构与方法。

2 因子分析模型

数学模型

因子分析模型的性质

1、原始变量X的协方差矩阵的分解

A是因子模型的系数

D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成分越多。

2、模型不受计量单位的影响。

3、因子载荷不是惟一的：设T为一个p×p的正交矩阵，令A=AT， F=T'F也是一个满足因子模型条件的因子载荷。

因子载荷矩阵中的统计特征

因子载荷是第i个变量与第j个公共因子的相关系数。

变量的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。

所有的公共因子和特殊因子对变量的贡献为1。

因子载荷矩阵中各列元素的平方和对所有的的方差贡献和。衡量的相对重要性。

3 因子载荷矩阵的估计方法

主成分分析法

上式给出的Σ表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的p-m项的贡献。

上式有一个假定：模型中的特殊因子是不重