Matérn协方差模型的高斯场：前文提到高斯马尔可夫随机场替换高斯场依赖于两个假设，在 ${\mathbb{R}}^d$ 中具有 Matérn 协方差函数的某些高斯场 (GF) 类型可以满足这些要求（它的GMRF表示是显式的），而且它们涵盖了空间统计学中最重要和最常用的协方差模型；

Matérn协方差模型与随机偏微分方程：Matérn协方差模型对应的高斯马尔可夫随机场 （GMRF）可以通过使用某种随机偏微分方程（SPDE）明确构造。随机偏微分方程的解是具有 Matérn 协方差函数的由高斯白噪声驱动的高斯场（GF）。其中，解是一个基函数表示，包含分段线性基函数和由 “域的一般三角剖分” 确定的具有马尔可夫依赖性的高斯权重。

上述结论的扩展：颇为惊人的是，扩展上面的基本结果似乎打开了新的大门和机会，并为相当困难的建模问题提供了相对简单的答案。特别是，

• 我们将展示这种方法如何扩展到流形上的Matérn场、非平稳场和具有振荡协方差函数的场。
• 并进一步讨论它与Sampson和Guttorp（1992）提出的非各向同性模型的非平稳协方差的变形方法的联系，
• 以及我们的方法如何自然地扩展到不可分离的时空模型。

对于这些扩展，本文主要任务，即 使用高斯场GF进行建模并使用高斯马尔可夫随机场GMRF表示进行计算 依然有效，因为GMRF表示仍然可以显式地使用。一个重要的观察是，所产生的建模策略不需要构建协方差函数的显式公式，而是通过SPDE规范隐式地定义它们。

1. Matérn协方差与其SPDE

这部分将介绍Matérn协方差模型并讨论其SPDE的表示。

我们将给出Matérn场（具有Matérn协方差的高斯场）在规则格子上的GMRF表示的明确结果，并非正式地总结主要结果。

1.1. Matérn 协方差函数

令 $\Vert \cdot \Vert$ 表示 ${\mathbb{R}}^d$ 中的Euclidean 距离。两个位置$\mathbf{u},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^d$ 的Matérn 协方差函数定义为：
$$(1)r(\mathbf{u},\mathbf{v})=\frac{{\sigma }^2}{2^{\nu -1}\Gamma (\nu )}(\kappa \Vert \mathbf{v}-\mathbf{u}\Vert {)}^{\nu }{K}_{\nu }(\kappa \Vert \mathbf{v}-\mathbf{u}\Vert )$$这里， $K_{\nu }$ 是第二类和阶数 $\nu >0$ 的修正贝塞尔函数 $K_{\nu }(z)={\int }_0^{\infty }{e}^{-z\cosh (t)}\cosh (\nu t)dt$。$\kappa >0$ 是一个缩放参数（调整协方差函数的空间尺度，改变 $\kappa$ 的值，可以控制协方差函数的空间范围）， ${\sigma }^2$ 是边际方差（表示过程的整体波动程度）
$${\sigma }^2=\frac{\Gamma (\nu )}{\Gamma (\nu +d/2)(4\pi {)}^{d/2}{\kappa }^{2\nu }}.$$

• $\nu$的整数值决定了基础过程的均方可微性，均方可微性描述了过程的平滑程度，平滑度越高，过程的预测性能越好。然而因为在典型应用中它很难被识别， $\nu$ 通常是固定的。
• 缩放参数 $\kappa$ 更自然的解释是作为范围参数 $\rho$（空间过程中的相关性衰减的距离）：表示$x(u)$ 和 $x(v)$ 近乎独立情形下的欧几里得距离，即若距离小于$\rho$，两个点之间的相关性较高；距离大于$\rho$，两个点之间的相关性非常低，可以认为几乎没有相关性。
• 由于缺乏简单的关系，我们将在本文中使用经验得出的定义 $\rho =\sqrt{8\nu }/\kappa$ ，这对应于对所有 $\nu$，当距离$\Vert \mathbf{v}-\mathbf{u}\Vert$接近于 $\rho$ 时，由$r(\mathbf{u},\mathbf{v})$计算可得相关性接近 0.1 。

1.2. Matérn场对应的随机偏微分方程

Matérn协方差函数自然地出现在各种科学领域，但我们将要利用的重要关系是，

定义：具有Matérn协方差的高斯场 (GF) $x(\mathbf{u})$ 是如下线性分数SPDE的解，
$$(2){\left({\kappa }^2-\Delta \right)}^{\alpha /2}x(\mathbf{u})=\mathcal{W}(\mathbf{u}),\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^d,\alpha =\nu +d/2,\kappa >0,\nu >0,$$其中${\left({\kappa }^2-\Delta \right)}^{\alpha /2}$是一个伪微分算子，我们将在方程(4)中通过其谱性质来定义。创新过程 𝑊是具有单位方差的空间高斯白噪声，Δ 是拉普拉斯算子，$\Delta ={\sum }_{i=1}^d\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$.
.
我们将在接下来称方程 (2) 的任何解为Matérn场。

• 当 $\kappa \to 0$ 或 $\nu \to 0$ 时，SPDE (2) 的极限解并不具有Matérn协方差函数，
• 当 $\kappa =0$ 或 $\nu =0$ 时，SPDE仍然有解，这些解是良定义的随机测度。我们将在附录 C. 3 中进一步讨论这个问题。

SPDE有一个隐含的假设是适当的边界条件，因为对于 $\alpha \ge 2$ ，微分算子的零空间是非平凡的，例如包含所有形如 $\exp \left(\kappa e^{T}u\right)$ 的函数，其中 $\Vert e\Vert =1$ 。

定理：Matérn场是SPDE的唯一平稳解。

证明（Whittle (1954, 1963) ）：利用${\mathbb{R}}^d$中分数阶拉普拉斯算子的傅里叶变换定义，
$$\left\{\mathcal{F}{\left({\kappa }^2-\Delta \right)}^{\alpha /2}\varphi \right\}(\mathbf{k})={\left({\kappa }^2+\Vert \mathbf{k}{\Vert }^2\right)}^{\alpha /2}(\mathcal{F}\varphi )(\mathbf{k}),$$其中，$\varphi$是定义在 ${\mathbb{R}}^d$ 上的一个函数，使得定义的右侧具有良定义的傅里叶逆变换。

可得平稳解的波数谱是，
$$R(\mathbf{k})=(2\pi {)}^{-d}{\left({\kappa }^2+\Vert \mathbf{k}{\Vert }^2\right)}^{-\alpha }$$

2. GMRF 的表示方法 (规则网格)

在讨论中，我们将把自己限制在维度$d=2$，尽管我们的结果是一般的。

2.1. 某给定的GMRF

对于我们的第一个结果，我们将使用一些非正式的论点 和 Besag（1981）中的一个部分分析结果中推出的一个简单但有力的结论。

我们将在附录中证明这些结果是正确的。

二维高斯马尔可夫随机场 (GMRF)：设$\mathbf{x}$是由$ij$索引的规则（趋于无限）二维格上的高斯马尔可夫随机场 (GMRF)，其中高斯全条件是
$$\begin{array}{rl}(5)& E\left(x_{ij}\mid {\mathbf{x}}_{-ij}\right)=\frac{1}{a}\left(x_{i-1,j}+x_{i+1,j}+x_{i,j-1}+x_{i,j+1}\right)\\ & \mathrm{var}\left(x_{ij}\mid {\mathbf{x}}_{-ij}\right)=1/a\end{array}$$和 $|a|>4$。

精度矩阵：为了简化符号，我们将这个特殊的模型写为：，这显示了与单个位置相关的精度矩阵元素。由于对称性，我们只显示右上象限，其中$‘a’$是中心元素。

逼近Matérn场的结果（Besag (1981)，方程式14)) 是
cov ⁡ ( x i j , x i ′ j ′ ) ≈ 1 2 π K 0 { l ( a − 4 ) } , l ≠ 0 , \operatorname{cov}\left(x_{i j}, x_{i^{\prime} j^{\prime}}\right) \approx \frac{1}{2 \pi} K_0\{l \sqrt{ }(a-4)\}, \quad l \neq 0, cov(xij​,xi′j′​)≈2π1​K0​{l ​(a−4)},l=0, 其中 $l$ 是 $ij$ 与 $i^{\prime }{j}^{\prime }$ 之间的欧氏距离。

1. 对于连续距离，这是一个广义协方差函数，通过在极限$\nu \to 0$，${\kappa }^2=a-4$和${\sigma }^2=1/4\pi$的情况下从方程 (1)获得，尽管方程（1）要求$\nu >0$.
2. 由于$\nu =0$, 那么$\alpha =\nu +d/2=1$, 非正式地说，这意味着由表达式（5）定义的离散模型生成了在单位距离规则网格上对$\nu =0$, $\alpha =1$的SPDE（2）的近似解。

求解可以得到一个具有以下谱的广义随机场
$$R_1(\mathbf{k})\propto {\left(a-4+\Vert \mathbf{k}{\Vert }^2\right)}^{-1},$$这意味着（某种离散化版本的）SPDE的行为类似于具有平方传递函数等于$R_1$的线性滤波器。

也就是说噪声是单位方差的高斯噪声，可得具有谱为$R_1$的解；如果我们将方程（2）右侧的噪声项替换为具有谱$R_1$的高斯噪声，则得到具有谱$R_2=R_1^2$的解，依此类推。

2.2. GMRF 的表示 ($\nu =1,2,...$的Matérn场)

对于$\nu =1$和$\nu =2$的Matérn场的GMRF表示，可以写为表示 (6) 中系数的卷积：

• 对于$\nu =1$，
  
• 对于$\nu =2$，
  
  其边际方差为 1 / { 4 π ν ( a − 4 ) ν } 1 /\left\{4 \pi \nu(a-4)^\nu\right\} 1/{4πν(a−4)ν}，

2.3. 实验结果

图1显示了对于 $\nu =1$，范围参数$\rho$分别为10和100的情况下，GMRF近似Matérn场的准确性，展示了Matérn相关性和GMRF表示下整数滞后的线性插值相关性。

对于范围参数$\rho$为100，结果无法区分。

• 在距离的两倍范围内，相关性的均方根误差分别为0.01和0.0003，对应范围参数$\rho$为10和100。
• 对于范围参数10，边际方差的误差为4%，而对于范围参数100可以忽略不计。

我们的第一个主要结果证实了上述的启发式推理。

结论1：在常规单位距离二维无限格点阵上，对于 $\nu =1,2,...$ ，方程 $(2)$ 的 ‘GMRF表示’ 系数可以通过将模型 $(6)$ 与自身卷积 $\nu$ 次得到。

3. GMRF 的表示方法 (不规则网格)

基于不规则网格的此类推广是接下来的主要结果。

虽然主要结果1本身很有用，但通常我们并不希望使用规则网格，以避免将观测位置插值到最近的网格点，并允许在需要细节的地方进行更精细的分辨率。

因此，我们将规则网格扩展到不规则网格，通过将二维空间 ${\mathbb{R}}^2$划分为一组不相交的三角形来实现，其中任意两个三角形最多在一个共同的边或角相交。三角形的三个角被称为顶点。

3.1. 三角剖分方法

在大多数情况下，我们将初始顶点放置在观测位置，并添加额外的顶点以满足三角形的整体软约束，例如最大允许边长和最小允许角度。

这是工程中使用有限元方法（FEMs）解决偏微分方程的标准问题，其中解的质量取决于三角剖分的属性。

三角剖分方法：通常选择最大化最小内部三角形角度，即所谓的Delaunay三角剖分，有助于确保小三角形和大三角形之间的过渡是平滑的。额外的顶点是根据启发式方法添加的，以尽量减少需要满足大小和形状约束的总三角形数量。（算法细节见Edelsbrunner (2001), and Hjelle and Dæhlen (2006)）

示例：为了说明${\mathbb{R}}^2$的三角测量过程，我们将使用Henderson等人（2002）的一个例子，该例子模拟了英格兰西北部白血病生存数据的空间变量。

• 图2 (a)显示了1982年至1998年期间在英格兰西北部诊断的1043例成人急性髓系白血病的位置。在分析中，对空间尺度进行了归一化，使研究区域的宽度等于1。
• 图2 (b)显示了感兴趣区域的三角剖分，使用了数据位置周围的精细分辨率和感兴趣区域之外的粗略分辨率。此外，我们还在所有数据位置上放置顶点。本例中的顶点数量是1749，三角形的数量是3446。

3.2. 三角晶格上的Matern场的GMRF表示

为了构造三角晶格上的Matern场的GMRF表示，我们从开始SPDE (2)的一个随机弱公式开始。

3.2.1. SPDE的随机弱解和有限元表示

定义内积
$$(7)⟨f,g⟩=\int f(\mathbf{u})g(\mathbf{u})\mathrm{d}\mathbf{u}$$其中积分在感兴趣的区域之上。

SPDE的随机弱解可以通过以下要求得到
( 8 ) { ⟨ ϕ j , ( κ 2 − Δ ) α / 2 x ⟩ , j = 1 , … , m } = d { ⟨ ϕ j , W ⟩ , j = 1 , … , m } (8)\quad \left\{\left\langle\phi_j,\left(\kappa^2-\Delta\right)^{\alpha / 2} x\right\rangle, j=1, \ldots, m\right\} \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{\left\langle\phi_j, \mathcal{W}\right\rangle, j=1, \ldots, m\right\} (8){⟨ϕj​,(κ2−Δ)α/2x⟩,j=1,…,m}=d{⟨ϕj​,W⟩,j=1,…,m}对每个合适的测试函数 { ϕ j ( u ) , j = 1 , … , m } \left\{\phi_j(\mathbf{u}), j=1, \ldots, m\right\} {ϕj​(u),j=1,…,m}有限集, 其中 ’ $=\mathrm{d}$ '表示分布相等.

下一步是构造SPDE解的有限元表示（Brennen和Scott，2007）为
$$(9)x(\mathbf{u})=\sum _{k=1}^n{\psi }_k(\mathbf{u})w_k$$对于某选择的基函数 { ψ k } \left\{\psi_k\right\} {ψk​}和高斯分布权值 { w k } \left\{w_k\right\} {wk​}。这里，$n$是三角测量中的顶点数。

• 我们选择使用在每个三角形中分段线性的函数 { ψ k } \left\{\psi_k\right\} {ψk​}，定义为${\psi }_k$在顶点$k$处是$1$，在所有其他顶点上是$0$。

这种基函数的表示(9)的解释是，权值决定顶点处场的值，三角形内部的值由线性插值决定。连续索引解的完整分布由权值的联合分布决定。

3.2.2. GMRF表示

有限维解是通过寻找方程(9)中表示权重的分布，该公式只满足特定测试函数的随机弱SPDE公式(8)，$m=n$。(把(9)代入到(8)，求解${\omega }_k$)

测试函数${\varphi }_j$的选择(与基函数${\psi }_k$存在关联)支配着结果模型表示的近似性质。

• 当 $\alpha =1$ ，选择${\varphi }_k={\left({\kappa }^2-\Delta \right)}^{1/2}{\psi }_k$，这个近似表示为最小二乘解。
• 当 $\alpha =2$，选择${\varphi }_k={\psi }_k$. 这个近似表示为Galerkin解。
• 当$\alpha ⩾3$, 令公式（2）左侧的$\alpha =2$，并用$\alpha -2$生成的场替换右边，选择${\varphi }_k={\psi }_k$. 本质上，这将生成一个递归的Galerkin公式，终止为$\alpha =1$或$\alpha =2$；详情请参见附录C。

总结：定义 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{C},\mathbf{G}$ 和 $\mathbf{K}$具有元素
$$\begin{array}{c}{C}_{ij}=⟨{\psi }_i{\psi }_j⟩,\\ G_{ij}=⟨\nabla {\psi }_i\nabla {\psi }_j⟩,\\ {\left({\mathbf{K}}_{{\kappa }^2}\right)}_{ij}={\kappa }^2{C}_{ij}+G_{ij}.\end{array}$$利用Neumann边界条件（在边界处的零法向导数），我们得到了我们的第二个主要结果，在这里表示为${\mathbb{R}}^1$和${\mathbb{R}}^2$。

结果 2. 令 ${\mathbf{Q}}_{\alpha ,{\kappa }^2}$ 是高斯权重$\mathbf{w}$（定义于公式(9)，其中$\alpha =1,2,\dots$，作为${\kappa }^2$的函数）的精度矩阵. 然后，方程(2)解的有限维表示具有精度矩阵
$$\begin{array}{c}{\mathbf{Q}}_{1,{\kappa }^2}={\mathbf{K}}_{{\kappa }^2},\\ {\mathbf{Q}}_{2,{\kappa }^2}={\mathbf{K}}_{{\kappa }^2}{\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{K}}_{k^2},\\ {\mathbf{Q}}_{\alpha ,{\kappa }^2}={\mathbf{K}}_{k^2}{\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{Q}}_{\alpha -2,{\kappa }^2}{\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{K}}_{{\kappa }^2},\text{ for }\alpha =3,4,\dots .\end{array}$$

• 矩阵$\mathbf{C}$和$\mathbf{G}$很容易计算，因为它们的元素只对于共享公共三角形（在${\mathbb{R}}_1$中是一个线段）的基函数对是非零的，而且它们的值不依赖于${\kappa }^2$。明确的公式载于附录A。
• 矩阵 ${\mathbf{C}}^{-1}$ 稠密, 这使得精度矩阵也是稠密. 在附录C.5, 我们证明 $\mathbf{C}$ 可以由对角矩阵$\tilde{\mathbf{C}}$代替, 其中 ${\tilde{C}}_{ii}=⟨{\psi }_i,1⟩$, 这使得精度矩阵稀疏，因此我们得到了GMRF模型。
• 上面注释的一个结果是，我们有一个从GF模型的参数到GMRF精度矩阵元素的显式映射，任何三角测量的计算代价为$\mathcal{O}(n)$。
• 对于所有顶点都是规则格上的点的特殊情况，使用正则三角化将主结果2简化为主结果1。请注意，在${\mathbb{R}}^2$中$\alpha =1$对应的GMRF邻域为 $3\times 3$，$\alpha =2$为 $5\times 5$，以此类推。随机场的平滑性增加，在GMRF表示中产生更大的邻域。
• 根据Matern协方差函数中的平滑度参数$\nu$，这些结果对应于在${\mathbb{R}}_1$中$\nu =1/2,3/2,5/2,\dots ,$和在${\mathbb{R}}_2$中 $\nu =0,1,2，\dots$。
• 我们目前无法提供 $\alpha$ 的其他值的结果；主要的障碍是SPDE中的分数阶导数，它是由傅里叶变换(4)定义的。Rozanov（1982）第3.1章对连续索引随机场的一个结果表明，当且仅当频谱的倒数是一个多项式时，随机场具有马尔可夫性质。对于我们的SPDE (2)，这对应于$\alpha =1,2,3,\dots$；见公式(3)。这个结果表明，当 $\alpha$ 不是一个整数时，可能需要一种不同的方法来提供表示结果，例如近似频谱本身。给定$0\le \alpha \le 2$的一般近似，可以将递归方法用于一般的 $\alpha >2$.

虽然该方法确实给出了在三角化区域上的Matern场的GMRF表示，但它确实是对随机弱解的近似，因为我们只使用了可能的测试函数的一个子集。

然而，对于一个给定的三角剖分，最佳可能的近似在附录C中明确表示，其中我们也显示了对全SPDE解的弱收敛性。

使用有限元文献中的标准结果（Brenner和Scott，2007），也可以推导出收敛速度的结果，如，对于$\alpha =2$，
$$\underset{f\in {\mathcal{H}}^1;\Vert f{\Vert }_{{\mathcal{H}}^1}⩽1}{\sup }\left\{E\left({⟨f,x_n-x⟩}_{{\mathcal{H}}^1}^2\right)\right\}⩽c{h}^2.$$这里，$x_n$是SPDE解$x$的GMRF表示，$h$是三角测量中可以内接在三角形中的最大圆的直径，$c$是某个常数。希尔伯特空间标量积和范数在附录B的定义2中定义，其中还包括场的值和梯度。这个结果适用于一般的$d\ge 1$，当最小网格角度远离零时，$h$与顶点之间的边缘长度成正比。

3.2.3. 实验结果

为了了解我们近似Matern协方差有多好，使用图$2(b)$.中的三角剖分，图$2(c)$显示了$\nu =1$以及逼近范围0.26的经验相关函数（点）和理论函数。这个匹配非常不错。一些点显示出与真实的相关性的差异，但这些可以被确定为由于在感兴趣的区域之外的相当粗糙的三角测量，其中包括减少边缘效应。

在实践中，在GMRF表示的准确性和所使用的顶点数量之间存在一种权衡。在图2(b)中，我们选择在研究区域使用精细分辨率，在外部使用低分辨率。

Noumann条件：使用这些 GMRFs来代替给定的平稳协方差模型的一个小缺点是由于SPDE的边界条件而造成的边界效应。在主要结果2中，我们使用了Noumann条件，以膨胀边界附近的方差（详见附录A.4），但也有可能进行其他选择（见Rue and Held（2005），第5章）。

3.3. 白血病的例子

现在我们将回到Henderson等人（2002）的例子（在第2.3节开始），该节模拟了英格兰西北部白血病生存数据的空间变化。（伪）Wilkinson–Rogers 的符号为
$$survival(time,censoring)\sim intercept+sex+age+wbc+tpi+spatial(location)$$使用 Weibull likelihood的生存时间

• $wbc$ 是诊断时的白细胞计数
• “$tpi$” 是汤森缺乏指数（这是衡量相关地区经济匮乏的指标）
• “$spatial$” 是根据每个测量的空间位置而决定的空间成分。

该模型中的超参数是 $Weibull$ 分布中的空间成分和形状参数的边际方差和范围。

Kneib and Fahrmeir（2007）使用Cox比例风险模型重新分析了相同的数据集，但出于计算原因，对空间成分使用了低秩近似。使用我们的GMRF表示，我们很容易地使用稀疏 $1749\times 1749$ 精度矩阵。我们在R-inla（www.r-inla.org）中使用集成嵌套的拉普拉斯近似运行该模型来进行完整的贝叶斯分析（Rue等人，2009年）。图3为空间分量的后验均值和标准差。