332、重新安排行程（hard题，暂时跳过）

51、N皇后（hard题，暂时跳过）

37、解数独（hard题，暂时跳过）

回溯总结

        转眼间跟着代码随想录的回溯已经接近尾声了，是时候做一个大总结了，本篇高能，需要花费很大的精力来看！

        回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。

        回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

回溯算法能解决如下问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合

• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式

• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式

• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集

• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

我在回溯算法系列讲解中就按照这个顺序给大家讲解，可以说深入浅出，步步到位。

        回溯法确实不好理解，所以需要把回溯法抽象为一个图形来理解就容易多了，在后面的每一道回溯法的题目我都将遍历过程抽象为树形结构方便大家的理解。

        用了回溯三部曲来分析回溯算法，并给出了回溯法的模板：

func backtracking(参数) {
    if 终止条件 {
        存放结果
        return
    }
    
    for 选择：本层集合中的元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小) {
        处理节点
        backtrack(路径，选择列表）    // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

事实证明这个模板会伴随整个回溯法系列！

组合问题

        在第77题. 组合 中我们开始用回溯法解决第一道题目：组合问题。

        我在文中开始的时候给大家列举k层for循环例子，进而得出都是同样是暴力解法，为什么要用回溯法！

        此时大家应该深有体会回溯法的魅力，用递归控制for循环嵌套的数量！

本题我把回溯问题抽象为树形结构，如题：

        可以直观的看出其搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集，这个理念贯穿整个回溯法系列，也是我做了很多回溯的题目，不断摸索其规律才总结出来的。

        对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。

所以，录友们刚开始学回溯法，起跑姿势就很标准了！

        优化回溯算法只有剪枝一种方法，在77.组合优化中把回溯法代码做了剪枝优化，树形结构如图：

大家可以一目了然剪的究竟是哪里。

        剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

        在for循环上做剪枝操作是回溯法剪枝的常见套路！ 后面的题目还会经常用到。

组合总和（一）

        在216.组合总和III中，相当于上77.组合加了一个元素总和的限制。树形结构如图：

        整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉，如图： 

        在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是77.组合优化中提到的对for循环选择的起始范围的剪枝。所以剪枝的代码可以在for循环加上 i <= 9 - (k - path.size()) + 1 的限制！

组合总和（二）

        在39. 组合总和 中讲解的组合总和问题 、和第77题. 组合、216.组合总和III的区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。

        不少同学都是看到可以重复选择，就义无反顾的把startIndex去掉了。        

        本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

        我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如 第77题. 组合、216.组合总和III。

        如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，比如：17.电话号码的字母组合。

        注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路。

树形结构如下：

最后还给出了本题的剪枝优化，如下： 

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)

组合总和（三）

        在40.组合总和II中集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合，所以难就难在去重问题上了。

        这个去重问题，相信做过的录友都知道有多么的晦涩难懂。网上的题解一般就说“去掉重复”，但说不清怎么个去重，代码一甩就完事了。

        为了讲解这个去重问题，Carl自创了两个词汇，“树枝去重”和“树层去重”。

        都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上“使用过”，一个维度是同一树层上“使用过”。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

        我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

• used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
• used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

        这块去重的逻辑很抽象，网上搜的题解基本没有能讲清楚的，如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目，看到这里一定会感觉通透了很多！

        对于去重，其实排列和子集问题也是一样的道理。

 多个集合求组合

        在17.电话号码的字母组合中，开始用多个集合来求组合，还是熟悉的模板题目，但是有一些细节。

        例如这里for循环，可不像是在第77题. 组合、216.组合总和III 中从startIndex开始遍历的。

        因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而第77题. 组合 、216.组合总和III 都是是求同一个集合中的组合！

树形结构如下：

        如果大家在现场面试的时候，一定要注意各种输入异常的情况，例如本题输入1 * #按键。其实本题不算难，但也处处是细节，还是要反复琢磨

 切割问题

        在131.分割回文串中，我们开始讲解切割问题，虽然最后代码看起来好像是一道模板题，但是从分析到学会套用这个模板，是比较难的。

我列出如下几个难点：

• 切割问题其实类似组合问题
• 如何模拟那些切割线
• 切割问题中递归如何终止
• 在递归循环中如何截取子串
• 如何判断回文

        如果想到了用求解组合问题的思路来解决 切割问题本题就成功一大半了，接下来就可以对着模板照葫芦画瓢。

        但后序如何模拟切割线，如何终止，如何截取子串，其实都不好想，最后判断回文算是最简单的了。

        所以本题应该是一个道hard题目了。除了这些难点，本题还有细节，例如：切割过的地方不能重复切割所以递归函数需要传入i + 1。

树形结构如下：

子集问题（一） 

        在78.子集中讲解了子集问题，在树形结构中子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。

如图：

        认清这个本质之后，今天的题目就是一道模板题了。

        本题其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了，本来我们就要遍历整棵树。

        有的同学可能担心不写终止条件会不会无限递归？并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。

        如果要写终止条件，注意：result.push_back(path);要放在终止条件的上面，如下：

result.push_back(path); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉结果
if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
    return;
}

 子集问题（二）

        在90.子集II 中，开始针对子集问题进行去重。本题也就是78.子集的基础上加上了去重，去重我们在 40.组合总和II中也讲过了，一样的套路。

树形结构如下：

递增子序列

        在491.递增子序列中，处处都能看到子集的身影，但处处是陷阱，值得好好琢磨琢磨！

树形结构如下：

        很多同学都会把这道题目和90.子集II 混在一起。

        90.子集II也可以使用set针对同一父节点本层去重，但子集问题一定要排序，为什么呢？

我用没有排序的集合{2,1,2,2}来举个例子画一个图，如下：

相信这个图胜过千言万语的解释了。

排列问题（一）

       在 46.全排列 又不一样了。

        排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。

        可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。

如图：

大家此时可以感受出排列问题的不同：

• 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
• 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

 排列问题（二）

        排列问题也要去重了，在47.全排列 II 中又一次强调了“树层去重”和“树枝去重”。

树形结构如下：

        这道题目神奇的地方就是used[i - 1] == false也可以，used[i - 1] == true也可以！

我就用输入: [1,1,1] 来举一个例子。

树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：

树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：

        可以清晰的看到使用(used[i - 1] == false)，即树层去重，效率更高！本题used数组即是记录path里都放了哪些元素，同时也用来去重，一举两得。

 332.重新安排行程、第51题. N皇后、37. 解数独都是hard题，为前期增强信息，应该选择暂略。

性能分析

        于回溯算法的复杂度分析在网上的资料鱼龙混杂，一些所谓的经典面试书籍不讲回溯算法，算法书籍对这块也避而不谈，感觉就像是算法里模糊的边界。

        所以这块就说一说我个人理解，对内容持开放态度，集思广益，欢迎大家来讨论！以下在计算空间复杂度的时候我都把系统栈（不是数据结构里的栈）所占空间算进去。

子集问题分析：

• 时间复杂度：O(2^n)，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2^n)
• 空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)

排列问题分析：

• 时间复杂度：O(n!)，这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * ..... 1 = n!。
• 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。

组合问题分析：

• 时间复杂度：O(2^n)，组合问题其实就是一种子集的问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。
• 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。

N皇后问题分析：

• 时间复杂度：O(n!) ，其实如果看树形图的话，直觉上是O(n^n)，但皇后之间不能见面所以在搜索的过程中是有剪枝的，最差也就是O（n!），n!表示n * (n-1) * .... * 1。
• 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。

解数独问题分析：

• 时间复杂度：O(9^m) , m是'.'的数目。
• 空间复杂度：O(n^2)，递归的深度是n^2

一般说道回溯算法的复杂度，都说是指数级别的时间复杂度，这也算是一个概括吧！

以上还有很多要修改的