微软面试题：寻找旋转排序数组中的最小值

假设一个排好序的数组在其某一未知点发生了旋转(比如 0 1 2 4 5 6 7 可能变成 4 5 6 7 0 1 2 )。你需要找到其中最小的元素。

样例 1:

输入：[4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]

输出：0

解释：

数组中的最小值为 0

样例 2:

输入：[2,1]

输出：1

解释：

数组中的最小值为 1

解题思路

最直接的是暴力解法，搜索整个数组找到最小元素，时间复杂度为 O(n)。

我们可以旋转数组的特性，用改进后的二分查找来解决，时间复杂度为 O(logn)。

算法流程

使用二分法来寻找最小值，如图所示可以帮助我们理解算法过程。

设置双指针 left 和 right 指向数组 nums 两端。

第一次分类讨论：比较 nums[left]和 nums[right]

如果 nums[left] < nums[right]，说明数组没有旋转过，仍然是升序排列。我们直接 return nums[left]。

反之，说明数组非单调，进入到第二次分类讨论。

第二次分类讨论：比较 nums[left]和 nums[mid]，其中 mid 是二分中点。

如果 nums[left] > nums[mid]，可以证明此时数组右半边是升序的，那我们就不用考虑右半边了。最小值一定在[left, mid]间，令 right = mid 。

如果 nums[left] <= nums[mid]，可以证明此时数组左半边是升序的，于是我们不需要考虑左半边。最小值一定在(mid, right]间，令 left = mid + 1 。

直到 left == right 时，此时指向的就是最小值，return nums[left]。

等效方法

上述算法中，第二次分类讨论我们比较的是 nums[left]和 nums[mid]的大小关系，其实比较 nums[right]和 nums[mid]的大小也是一样的。

nums[left] > nums[mid]，等效于 nums[mid] < nums[right]

nums[left] <= nums[mid]，等效于 nums[mid] > nums[right]

有兴趣可以证明一下。代码如何实现，看个人的 preference 啦。

复杂度分析

时间复杂度: O(log(n))，n 为 nums 的长度。同二分查找的时间复杂度。

空间复杂度: $O(1) $。没有使用额外空间。

public class Solution {

/**

* @param nums: a rotated sorted array

* @return: the minimum number in the array

*/

public int findMin(int[] nums) {

int left = 0, right = nums.length - 1;

// 二分法

while (left < right){

// 最小值在 left

if (nums[left] < nums[right]){

return nums[left];

}

int mid = left + (right - left) / 2;

// 最小值在[left, mid]

if (nums[left] > nums[mid]){

right = mid;

}

// 最小值在(mid, right]

else{

left = mid + 1;

}

}

return nums[left];

}

}