集合及关系

关系的运算

1. AxB：笛卡尔乘积。A中的元素作为第一元素，B中的元素作为第二元素，构成所有的序偶构成的集合作为结果。
2. domR：R的定义域。R中所有序偶第一元素构成的集合
3. ranR：R的值域。R中所有序偶第二元素构成的集合
4. fldR：R的域。domR与ranR的并集
5. R^-1：R的逆关系/R的逆。每个序偶第一元素和第二元素交换
6. F⚪G：G对F的右合成。第一元素x来自F，第二元素y来自G，如果F中存在<x，t>，G中存在<t，y>，则结果为所有<x，y>组成的集合。（F到G的传递）
7. IA：基于A的恒等关系。即所有元素既作为第一元素也作为第二元素<x，x>所组成的集合

关系的性质

1. 自反：对于A中每个元素x，R中都有<x，x>
   如果有一个元素不存在，就不满足自反
2. 反自反：对于A中每个元素x，R中都没有<x，x>
   如果有一个元素存在，则不满足反自反
   综上，如果A中有元素存在，但并不是所有元素都存在，则既不是自反，也不是反自反
3. 对称：对R中所有的<x，y>，同时也存在<y，x>
4. 反对称：对R中所有的<x，y>，要么不存在<y，x>，若存在，则x=y
   综上，如果存在<x，y>,<y，x>，但并不是所有元素都存在，则既不是对称也不是反对称
5. 可传递：对R中所有的<x，y>，如果存在<y，z>，那么就有<x，z>
6. 不可传递：R中存在<x，y>，也存在<y，z>，但是没有<x，z>
   综上，如果关系R不是可传递的，那就是不可传递的。当且仅当所有的<x，y>、<y，z>都有<x，z>，才是可传递的。即不存在和不全存在都为不可传递。

关系的闭包运算

1. r®：自反闭包。R本身并上恒等关系IA。构造基于R的最小的自反关系。
2. s®：对称闭包。R本身并上R逆。构造基于R的最小的对称关系。
3. t®：传递闭包。公式上等于R^1并上R2并上R^3…直到趋于无穷。通常会陷入循环或一开始就等于本身。若陷入循环则结果为第一段循环。
   可用wallshall算法来求得

特殊关系

1. 覆盖：若集合A由若干集合构成，且A中的集合都是S集合的子集，且所有集合的并集结果为S，称A是S的覆盖。
2. 划分：当S的覆盖A中任意两个的子集的交集都为空，则称A为S的划分。
   综上，覆盖和划分都不唯一。覆盖会存在交集，而划分是正好的，不存在交集。
3. 等价关系：关系R同时满足自反、对称、可传递
   这里引入模k关系：a，b两个数满足a-b=mk，则ab满足模k关系，其中m为任意整数，k是我们提前设的。模k关系为等价关系
4. 等价类：等价关系下一个划分组成的集合
5. 商集：所有等价类作为元素的集合
   不难看出，商集中的集合（所有等价类）构成了此关系的划分。等价关系->等价类->商集->划分。
   
6. 相容关系：关系R同时满足自反、对称
7. 最大相容类：满足相容的集合有一个子集，这个子集中的任何一个元素与子集其他所有元素能构成相容关系，但是和这个子集外的任何元素没有相容关系，则这个子集称为最大相容类
   判断相容类或者最大相容类的时候，通过关系图能很好进行判断
   两两相连的就是相容类，再加一个元素就不满足两两相连的相容类就是最大相容类
   

次序关系

1. 偏序关系：R是自反的、反对称的、可传递的，称R是A中的偏序关系。用≤表示偏序关系
2. 拟序关系：R是反自反的、可传递的，称R是A中的拟序关系。用＜表示拟序关系
3. 全序关系：R是偏序关系，对于A中每一个x，y，都有x小于等于y或y小于等于x。即满足线性关系（一条线），哈斯图中一层只有一个元素

哈斯图

表达偏序关系的利器

1. 最小元：在给定集合中选，可以不存在，存在则唯一。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向下能达到最小元。
2. 最大元：在给定集合中选，可以不存在，存在则唯一。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向上能达到最大元。
3. 极小元：在给定集合中选，一定存在，可以多个。哈斯图中给定集合的最底层。
4. 极大元：在给定集合中选，一定存在，可以多个。哈斯图中给定集合的最高层。
5. 上界：在整个集合中选，可以不存在，可以存在很多。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向上能达到上届。
6. 下界：在整个集合中选，可以不存在，可以存在很多。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向下能达到下届。
7. 上确界（最小上界）：在整个集合中选，可以不存在，存在则唯一。上届中最小的元素，即哈斯图中上界的最底层。若最底层不唯一则不存在。
8. 下确界（最大下界）：在整个集合中选，可以不存在，存在则唯一。下届中最大的元素，即哈斯图中下界的最高层。若最高层不唯一则不存在。