309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组 prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

提示：

• 1 <= prices.length <= 5000
• 0 <= prices[i] <= 1000

思路：(动态规划)

按收益考虑的话：「买入」为负收益，「卖出」为正收益，计算每一天结束后可以获得的 「累计最大收益」；

根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有 三种不同的状态 ：

1. 目前持有一支股票
2. 目前不持有任何股票，并处于冷冻期
3. 目前不持有任何股票，并不处于冷冻期

我们设dp[i]表示第 i 天结束后的 「累计最大收益」，对应 三种不同的状态， 分别用 dp[i][0] 、dp[i][1] 、dp[i][2]：

1. 目前持有一支股票dp[i][0] ，有两种可能：
   • 第i − 1天就已经持有，即 dp[i][0] = dp[i - 1][0]
   • 或者第 i 天刚买入，那么第 i−1 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中 ，即 dp[i][0] = dp[i - 1][2] - prices[i]
2. 目前不持有任何股票，并处于冷冻期dp[i][1] ，只有一种可能：
   • 第 i 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票, 说明第 i - 1 天持有一支股票，对应的状态为 f[i−1][0] 加上卖出股票的正收益 prices[i]，即：dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i]
3. 目前不持有任何股票，并不处于冷冻期 dp[i][2] ,说明当天没有进行任何操作，且第 i − 1 天肯定也没有持有任何股票，有两种情况：
   • 第 i − 1 天处于冷冻期, 即：dp[i][2] = dp[i - 1][1]
   • 第 i − 1 天不处于冷冻期，对应的状态为： dp[i][2] = dp[i - 1][2]

这样我们就得到了所有的状态转移方程。如果一共有 n天，那么最终的答案即为：
$$max(dp[n-1][0],dp[n-1][1],dp[n-1][2])$$

注意到如果在最后一天（第 i - 1 天) 结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 dp[n - 1][1] 和dp[n - 1][2] 中的较大值，即：
$$max(dp[n-1][1],dp[n-1][2])$$

代码：(Java)

public class MaxProfit {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int [] prices = {1,2,3,0,2};
		System.out.println(maxProfit(prices));
	}
	public static int maxProfit(int[] prices) {
		int n = prices.length;
		if(n == 1) {
			return 0;
		}

		int[][] dp = new int[n][3];
		dp[0][0] = -prices[0];
		for(int i = 1; i < n; i++) {
			dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2] - prices[i]);
			dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i];
			dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
		}
		
		return Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 n 为数组 prices 的长度。
• 空间复杂度：$O(n)$。我们需要 3n的空间存储动态规划中的所有状态，对应的空间复杂度为 $O(n)$。

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣。