【数学】有理分式的拆解技巧
仅做个人学习总结使用
参考的文章：
https://www.jianshu.com/p/1f6025995502
https://zhuanlan.zhihu.com/p/69471608
相信大家都不会陌生，经常遇见含有这些分式的积分类型
现在说说有哪些技巧可以简单应付
一个真分式，分子的次数 < 分母的次数
我们把一个真分式拆解为几个小分式，通常第一步会先把分母进行因式分解，然后按照那个因式分裂为小分式
对于小分式，分子的次数 总会 比分母的次数少1次方：deg(分子) = deg(分母) - 1
例如分母是二阶
a
x
2
+
b
x
+
c
ax^2+bx+c
ax2+bx+c，则分子为
A
x
+
B
Ax+B
Ax+B
若分母是一阶
a
x
+
b
ax+b
ax+b，则分子为常数A
不过，对于高阶极点来说，小分式的个数 = 分母的因式个数
例如
(
x
+
5
)
3
(x + 5)^3
(x+5)3，因式为
(
x
+
5
)
3
(x + 5)^3
(x+5)3，
(
x
+
5
)
2
(x + 5)^2
(x+5)2，
(
x
+
5
)
(x + 5)
(x+5)，共三个因式
$(x^2+4 )4，因式为(x2+4)4，(x2+4)3，(x2+4)2，(x^2+4)，共四个因式
常用的方法无非都是那几种：
添项减项法：这个方法对 1 ( x + a ) ( x + b ) \frac{1}{(x+a)(x+b)} (x+a)(x+b)1 型有效
待定系数法：即小分式通分后，把分子与原式的分子恒等，从而解出对应系数
留数法：即通过消去零因式来解出系数，分母要求为线性(ax+b)型因式，可以是高阶极点，这个方法其实跟z变换类似
添项减项法 和 待定系数法：
留数法：
留数法对于一次因式，一阶极点的因式时最好用的
例如：
而待定系数法，则需要对联立多元方程有很好的运算技巧
通常对于二次或以上的因式最好用
例如：
下面是练习，你们可以试试：
如果分子的次数 ≥ 分母的次数，这是假分式，设法自然会有些改变
这个可依旧运用待定系数法：
或者多项式除法：
图5留数法第二道题解答有点错误，应该对A那个式子求导。希望作者更正下。☺☺☺
https://zhuanlan.zhihu.com/p/69471608
分解步骤总览：
-
判别真假分式.
-
真分式分解出待定式.
-
待定系数求解方法: 实根法(一次式), 复根法(二次式), 求导法(一次n重), 极限法(一、二次的二重)
-
判别真假分式
形如
P
(
x
)
Q
(
x
)
\frac{P(x)}{Q(x)}
Q(x)P(x)
的分式, 若分子指数等于或高于分母, 则要化为真分式.[1]
化简方法: 做多项式除法[2]
例如:
2. 真分式分解
[公式] 重一次因式
形如: P ( x ) ( A x + b ) k \frac{P(x)}{(Ax+b)^k} (Ax+b)kP(x)
当 k = 1 k = 1 k=1时
其中
A
i
A_i
Ai为待定系数.
当 k > 1 k > 1 k>1 时
例如:
A
i
,
B
i
,
C
i
A_i, B_i, C_i
Ai,Bi,Ci 为待定系数.
k k k 二次因式
形如
P ( x ) ( a x 2 + b x + c ) k \frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)^k} (ax2+bx+c)kP(x)
当 k = 1 k=1 k=1时,
当
k
>
1
k>1
k>1时,
例如:
-
待定系数求解[3]
无特征——反解方程法
将各项通分合并, 将分子与原式的分子做系数比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解
多个不同的一次式, 且无重因式——实根代入法
