前言

根据之前的文章：噪声指标（1）基本理论与噪声计算方法，分别计算没有滤波电路和有滤波电路两种情况下的总输出噪声。例题来自于 TI 高精度实验室系列课程。

一、没有滤波电路时的总输出噪声计算

要求：如下图所示，当 U3 和 U4 分别为 OPA188 和 OPA211 时，计算 U4 运放的总输出噪声电压值。注意，此时 C5 并没有接入电路。

1.1 信息获取

查找 OPA188 和 OPA211 这两款运放的数据手册，如下图所示：

• OPA188

噪声指标

增益带宽积

电压噪声密度曲线

• OPA211

噪声指标

增益带宽积

电压/电流噪声密度曲线

1.2 分析与计算

（1）计算噪声的等效输入带宽

在电路未接入滤波器时，需要关注运放本身的增益带宽积参数，计算输入噪声的等效带宽 $f_b$。在运放的 -3dB 带宽处，对于噪声而言相当于接入了一阶低通滤波器，那么其噪声等效带宽根据文章 噪声指标（1）基本理论与噪声计算方法 讲的一阶滤波器的换算系数，为1.57，便可以计算出来。

OPA188 的 -3dB 带宽可计算得：

$$f_{-3dB}=BWG/101=2MHz/101\approx 19.8kHz，OPA188$$

那么其等效输入噪声带宽：

$$f_b=1.57\ast f_{-3dB}=1.57\ast 19.8kHz=31.089kHz，OPA188$$

同理，可计算得 OPA211 的 -3dB 带宽以及等效输入噪声带宽：

$$f_{-3dB}=BWG/101=80MHz/101\approx 792.079kHz，OPA211$$

$$f_b=1.57\ast f_{-3dB}=1.57\ast 19.8kHz=1243.564kHz，OPA211$$

（2）获得白噪声电压密度和白噪声电流密度

这一指标可以从电压/电流噪声密度曲线中直接读出，但数据手册上已经给出了相应指标具体数值，就可以直接使用给定的数值。另外，观察到 OPA188 没有电流噪声密度曲线，那么对于OPA188 只计算其电流白噪声在电阻上产生的电压值，1/f 噪声就不再计算了。

可知：

$$e_{n-u}=8.8nV/\sqrt{Hz}，OPA188$$

$$e_{n-i}=7fA/\sqrt{Hz}，OPA188$$

$$e_{n-u}=1.1nV/\sqrt{Hz}，OPA211$$

$$e_{n-i}=1.7fA/\sqrt{Hz}，OPA211$$

（3）计算电压 1/f 噪声有效值

对于 OPA188，其在 0.1Hz 至 10Hz 范围内的噪声有效值已经给出，为 $U_{N-1f}=40nVrms$，它包括了 1/f 噪声和白噪声，因此无需再单独计算。

对于 OPA211，数据手册中给出了其在 0.1Hz 至 10Hz 范围内的噪声峰峰值，为 80nVpp，那么可以根据噪声电压有效值与噪声电压峰峰值之间的关系直接换算，取波峰因数为3.3，那么其有效值为：$U_{N-1f}=80nVpp/6.6\approx 12nVrms$。

（4）计算电压白噪声有效值

$$U_{N-wh}=e_{n-u}\sqrt{f_b-f_a}=8.8nV/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{31.089kHz-0.1Hz}=1.552uVrms，OPA188$$

$$U_{N-wh}=e_{n-u}\sqrt{f_b-f_a}=1.1nV/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{1243.564kHz-0.1Hz}=1.227uVrms，OPA211$$

（5）计算电压总噪声有效值

直接对（3）和（4）的结果做平方和运算：

$$U_{n-u}=\sqrt{U_{N-1f}^2+U_{N-wh}^2}=\sqrt{40^{2}nVrm{s}^2+1.552^{2}uV}\approx 1.553uVrms，OPA188$$

$$U_{n-u}=\sqrt{U_{N-1f}^2+U_{N-wh}^2}=\sqrt{12^{2}nVrm{s}^2+1.227^{2}uV}\approx 1.227uVrms，OPA211$$

从计算结果可以看出，电压总噪声有效值计算结果与（4）中白噪声有效值相差无几，说明对于这两款运放的等效电压输入噪声，白噪声占据了绝对的优势。

实际上，这里可以直接根据 噪声指标（3）简化噪声计算的方法 中的简化计算方法 4：当系统带宽比 1/f 噪声的拐点频率大 10 倍以上， 1/f噪声便可以忽略不计。对于大多数精密运放，噪声拐点频率是在 1Hz 到 1kHz 之间，因此对于带宽大于 10kHz 的系统，几乎可以不考虑 1/f 噪声的影响。如（1）中的计算结果，两款运放组成的电路系统带宽均在10kHz以上，计算结果如（5）所示，完全可以忽略 1/f 噪声。

（6）计算电流白噪声有效值

首先应明确：电流噪声只有经过外部电阻才能演变成电压噪声，否则它不会对电路输出噪声产生任何影响。 因此首先计算等效电阻：

U5同相输入端接地，构成一个反相放大电路。R7和R11并联电阻值为：

$$R_{eq}=R_7//R_{11}=\frac{R_7{R}_{11}}{R_7+R_{11}}\approx 1k\Omega$$

同理可求出R10和R14的并联电阻，约为 1kΩ。

根据前面步骤中获得的电流白噪声密度与系统带宽，可计算出电流白噪声经过电阻所转化成的电压噪声为：

$$U_{i-wh}=e_{n-i}\sqrt{f_b-f_a}\ast R_{eq}=7fA/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{31.089kHz-0.1Hz}\ast 1k\Omega \approx 1.23nVrms，OPA188$$

$$U_{i-wh}=e_{n-i}\sqrt{f_b-f_a}\ast R_{eq}=1.7pA/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{1243.564kHz-0.1Hz}\ast 1k\Omega \approx 1.896uVrms，OPA211$$

（7）计算电流 1/f 噪声有效值

如（2）中所述，对于OPA188 只计算其电流白噪声在电阻上产生的电压值，1/f 噪声不再计算。

那么计算 OPA211 的电流 1/f 噪声，首先应获得其电流 1/f 噪声密度，定义为在 1Hz 处的噪声密度值。该数值数据手册并未明确给出，但可以通过读图的方式获得，大概数值即可。

如前文给出的 OPA211 电流噪声密度曲线，在 1Hz 处，约为 12pA/√Hz，但是此值是白噪声和 1/f 噪声的合并，因此需要求解单独的 1/f 密度：

$$e_{n-i}=\sqrt{{(12pA/\sqrt{Hz}}^2-{(1.7pA/\sqrt{Hz})}^2}\approx 11.88pA/\sqrt{Hz}$$

这里其实可以使用 噪声指标（3）简化噪声计算的方法 中的简化计算方法 1，当两个数值相差 3 倍以上时，较小的数值可以忽略，结果也证明了这一点，$1.7pA/\sqrt{Hz}$ 的加入对计算结果并无多大影响。

那么由此可以计算 OPA211 的电流 1/f 噪声有效值：

$$U_{i-1f}=e_{n-i}\sqrt{ln\frac{f_b}{f_a}}\ast R_{eq}\approx 48nVrms，OPA211$$

（8）计算电流总噪声有效值

对于 OPA188，其电流总噪声有效值即为其电流白噪声有效值：

$$U_{n-i}=1.23nVrms，OPA188$$

对于 OPA211，其电流总噪声有效值为其电流白噪声有效值和 1/f 噪声有效值的平方和开根号：

$$U_{n-i}=\sqrt{U_{i-1f}^2+U_{i-wh}^2}=\sqrt{(48nVrms{)}^2+(1.896uVrms{)}^2}\approx 1.897uVrms$$

（9）计算电阻热噪声有效值

设环境温度为常温 27℃，即 T = 300K，那么一级电路的电阻热噪声有效值为：

$$U_{N-R}=\sqrt{4kTR{f}_b}=0.1287\sqrt{\frac{1k\Omega }{1\Omega }}\sqrt{\frac{31.089kHz}{1Hz}}\approx 717.6nVrms，OPA188$$

$$U_{N-R}=\sqrt{4kTR{f}_b}=0.1287\sqrt{\frac{1k\Omega }{1\Omega }}\sqrt{\frac{1243.564kHz}{1Hz}}\approx 4.54uVrms，OPA211$$

（10）计算电路总噪声有效值和峰峰值

根据增益、电流总噪声、电压总噪声、电阻热噪声，计算第一级放大电路输出总噪声有效值：

$$U_{n-1}=101\ast \sqrt{U_{N-R}^2+U_{n-i}^2+U_{n-u}^2}\approx 172.8uVrms，OPA188$$

$$U_{n-1}=101\ast \sqrt{U_{N-R}^2+U_{n-i}^2+U_{n-u}^2}\approx 512.2uVrms，OPA211$$

本级实际输入为 $U_i=\sqrt{前级输出噪{声}^2+本级等效输入噪{声}^2}$，本级输出噪声为实际输入噪声 $U_i$ 的 $A_i$倍，那么电路总噪声有效值输出为：

$$U_{n-rms}=21\ast \sqrt{U_{N-R}^2+U_{n-i}^2+U_{n-u}^2+U_{n-1}^2}\approx 3.629mVrms，OPA188$$

$$U_{n-rms}=21\ast \sqrt{U_{N-R}^2+U_{n-i}^2+U_{n-u}^2+U_{n-1}^2}\approx 10.757mVrms，OPA211$$

由有效值与峰峰值之间的关系，可得噪声峰峰值：

$$U_{n-pp}=6.6\ast U_{n-rms}\approx 23.95mVpp，OPA188$$

$$U_{n-pp}=6.6\ast U_{n-rms}\approx 71mVpp，OPA211$$

1.3 计算总结

上述计算过程中，有很多地方都可以进行简化计算，最后的结果也不会差很多，却能大大简化整体运算量和时间。因此善用简化计算技巧，是进行实际电路设计时非常实用的技能。

二、接有滤波电路时的总输出噪声计算

要求：如下图所示，当 U3 和 U4 分别为 OPA188 和 OPA211 时，计算 U4 运放的总输出噪声电压值。注意，此时 C5 已接入第一级电路。

2.1 分析与计算

为了节省设计时间，这次采用简化计算的方法进行噪声计算。

（1）计算噪声的等效输入带宽

此时，电路接入了滤波器，那么就需要计算由R7和C5构成的一阶RC低通滤波器截止频率，从而计算输入噪声的等效带宽 $f_b$。

RC一阶低通滤波器的截止频率为：

$$f_{RC-3dB}=\frac{1}{2\pi RC}=1.592kHz$$

那么噪声等效输入噪声带宽：

$$f_b=1.57\ast f_{RC-3dB}=1.57\ast 1.592kHz=2.499kHz，OPA188=OPA211$$

（2）获得白噪声电压密度和白噪声电流密度

与前一例相同，这里把指标搬过来：

$$e_{n-u}=8.8nV/\sqrt{Hz}，OPA188$$

$$e_{n-i}=7fA/\sqrt{Hz}，OPA188$$

$$e_{n-u}=1.1nV/\sqrt{Hz}，OPA211$$

$$e_{n-i}=1.7fA/\sqrt{Hz}，OPA211$$

（3）计算电压 1/f 噪声有效值

对于OPA188，其噪声密度曲线在低频段的 1/f 噪声非常小，可认为其噪声主要为白噪声，因此其电压 1/f 噪声忽略不计；

对于OPA211，其拐点频率从曲线图中可看出大概在100Hz左右，其噪声等效带宽为2.499kHz，比拐角频率大20多倍，因此根据 噪声指标（3）简化噪声计算的方法 中的简化计算方法 4：当系统带宽比 1/f 噪声的拐点频率大 10 倍以上， 1/f噪声便可以忽略不计，这里也忽略其 1/f 噪声。

（4）计算电压白噪声有效值

$$U_{N-wh}=e_{n-u}\sqrt{f_b-f_a}=8.8nV/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{2.499kHz-0.1Hz}=439.9nVrms，OPA188$$

$$U_{N-wh}=e_{n-u}\sqrt{f_b-f_a}=1.1nV/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{2.499kHz-0.1Hz}=54.99nVrms，OPA211$$

（5）计算电压总噪声有效值

由于忽略了 1/f 噪声，因此（4）中计算的白噪声电压有效值即为总的电压噪声有效值：

$$U_{n-u}=U_{N-wh}=439.9nVrms，OPA188$$

$$U_{n-u}=U_{N-wh}=54.99nVrms，OPA211$$

（6）计算电流白噪声有效值

U5同相输入端接地，构成一个反相放大电路。R7和R11并联电阻值为：

$$R_{eq}=R_7//R_{11}=\frac{R_7{R}_{11}}{R_7+R_{11}}\approx 1k\Omega$$

同理可求出R10和R14的并联电阻，约为 1kΩ。

根据前面步骤中获得的电流白噪声密度与系统带宽，可计算出电流白噪声经过电阻所转化成的电压噪声为：

$$U_{i-wh}=e_{n-i}\sqrt{f_b-f_a}\ast R_{eq}=7fA/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{2.499kHz-0.1Hz}\ast 1k\Omega \approx 0.35nVrms，OPA188$$

$$U_{i-wh}=e_{n-i}\sqrt{f_b-f_a}\ast R_{eq}=1.7pA/\sqrt{Hz}\ast \sqrt{2.499kHz-0.1Hz}\ast 1k\Omega \approx 84.98nVrms，OPA211$$

（7）计算电流 1/f 噪声有效值

与前文一样，对于OPA188 只计算其电流白噪声在电阻上产生的电压值，1/f 噪声不再计算。

对于 OPA211 的电流 1/f 噪声，其电流噪声密度曲线拐点频率从曲线图中可看出同样大概在100Hz左右，而其噪声等效带宽为2.499kHz，比拐角频率大20多倍，与步骤（3）一样，这里也忽略。

（8）计算电流总噪声有效值

由于忽略了 1/f 噪声，因此（6）中计算的白噪声电流有效值即为总的电流噪声有效值：

$$U_{n-i}=U_{i-wh}=0.35nVrms，OPA188$$

$$U_{n-i}=U_{i-wh}=84.98nVrms，OPA211$$

（9）计算电阻热噪声有效值

设环境温度为常温 27℃，即 T = 300K，那么一级电路的电阻热噪声有效值为：

$$U_{N-R}=\sqrt{4kTR{f}_b}=0.1287\sqrt{\frac{1k\Omega }{1\Omega }}\sqrt{\frac{2.499kHz}{1Hz}}\approx 203.45nVrms，OPA188=OPA211$$

（10）计算电路总噪声有效值和峰峰值

对于 OPA188，其电压总噪声有效值为 $U_{n-u}=439.9nVrms$，电流总噪声有效值为 $U_{n-i}=0.35nVrms$，电阻热噪声有效值为 $U_{N-R}=203.45nVrms$，对比可知电流噪声太小了，在平方开方运算中不占优势，因此忽略电流噪声；

同理分析 OPA211，其电压总噪声有效值为 $U_{n-u}=54.99nVrms$，电流总噪声有效值为 $U_{n-i}=84.98nVrms$，电阻热噪声有效值为 $U_{N-R}=203.45nVrms$，则计算其全部噪声。

根据增益、电流总噪声、电压总噪声、电阻热噪声，计算第一级放大电路输出总噪声有效值：

$$U_{n-1}=101\ast \sqrt{U_{N-R}^2+U_{n-u}^2}\approx 48.952uVrms，OPA188$$

$$U_{n-1}=101\ast \sqrt{U_{N-R}^2+U_{n-i}^2+U_{n-u}^2}\approx 22.951uVrms，OPA211$$

第一级电路由于噪声增益较高，其噪声输出相对于第二级电路的等效噪声总输入较大，因此忽略第二级电路的噪声输入，直接用第一级放大电路输出总噪声有效值乘二级增益，得到总输出噪声有效值为：

$$U_{n-rms}=21\ast U_{n-1}=1.028mVrms，OPA188$$

$$U_{n-rms}=21\ast U_{n-1}=0.482mVrms，OPA211$$

由有效值与峰峰值之间的关系，可得噪声峰峰值：

$$U_{n-pp}=6.6\ast U_{n-rms}\approx 6.785mVpp，OPA188$$

$$U_{n-pp}=6.6\ast U_{n-rms}\approx 3.181mVpp，OPA211$$

2.2 计算总结

对比例 1，可以体会到两件事：

1、简化计算的技巧是非常实用的，一方面可以帮我们判断电路中的主要噪声源，另一方面也可以节省计算时间，简化工作量；

2、两个例子唯一的区别在于加入了一颗电容，最后的输出噪声相差了4-20多倍，可见，限制系统总带宽对于降低噪声输出是卓尔有效的。

三、仿真验证

在 LTspice 中搭建上述电路，验证计算的准确性，带宽均设置为 0.1Hz 到 100MHz，如下所示：

（1）未接入滤波器时，OPA188的仿真结果：

（2）未接入滤波器时，OPA211的仿真结果：

（3）接入滤波器时，OPA188的仿真结果：

（4）接入滤波器时，OPA211的仿真结果：

可见，各项计算结果与仿真相差无几，验证了上述计算的准确性。