参数根轨迹绘制方法

什么叫做参数根轨迹呢?指的是除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹。例如；我们要在如下系统开环传递函数中a=0→∞ 变化，绘制其根轨迹；

那么我们都知道，之前所有的根轨迹绘制方法，只有在$k^{\ast }$传递函数的情况下才能使用。如今，虽然参数不再是
$k^{\ast }$了，但是如果我们要想办法将这个传递函数化成$k^{\ast }$的传递函数，按理来说，还能使用之前的规则。

等效开环传递函数

由于，传递函数的根轨迹是由特征方程求出的，那么我们只要保证特征方程不变，就可以找到等效的开环传递函数。但是，此等效传递函数也只能求解绘制根轨迹方程，而不能求解其他问题。
因此，我们首先写出其特征方程为；
$$D(S)=S^3+S^2+\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}a=0$$
我们构造——等效开环传递函数为；

$$G^{{}^{\prime }}(s)=\frac{a/4}{s^3+s^2+s/4}=\frac{a/4}{s(s+0.5{)}^2}$$
将$a/4$等效成为$k^{\ast }$，利用根轨迹绘制法则我们得到如下信息；

1. 实轴根轨迹：[-∞,0]
2. 渐近线：${\sigma }_n=-1/3{\phi }_a=\pm 60°,180°$
3. 分离点：$$\frac{1}{d}+\frac{2}{d+0.5}=0$$
   解得： $$d=-\frac{1}{6}{a}_d=4\left|d\right|{\left|d+0.5\right|}^2=\frac{2}{27}$$
4. 与虚轴交点：$$D(\omega j)=-{\omega }^2+\frac{a}{4}+(-{\omega }^3+\frac{1}{4}\omega )j=0$$
   解得：$$\{\begin{array}{c}\omega =\frac{1}{2}\\ a=1\end{array}$$
   最后绘制出根轨迹图像。
   

零度根轨迹

零度根轨迹指的是系统处于正反馈时的根轨迹
如下

写出开环传递函数;
$$G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{K^{\ast }(s-z_1)...(s-z_m)}{(s-p_1)...(s-p_n)}$$
那么正反馈条件下,闭环传递函数与开环传递函数之间的关系为;
$$\Phi (s)=\frac{G(s)}{1-G\left(s\right)H\left(s\right)}$$
因此,特征方程为;
$$G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{K^{\ast }\left(s-z_1\right)...\left(s-z_m\right)}{\left(s-p_1\right)...\left(s-p_n\right)}=1$$
对上述复数方程取模,则得到模值条件;
$$|G\left(s\right)H\left(s\right)|=\frac{K^{\ast }\left|s-z_1\right|...\left|s-z_m\right|}{\left|s-p_1\right|...\left|s-p_n\right|}=K^{\ast }\frac{{\prod }_{i=1}^m|\left(s-z_i\right)|}{{\prod }_{j=1}^n|(s-p_j)|}=1$$
将复数方程区相角,则可得到相角条件;
$$\angle G\left(s\right)H\left(s\right)=\sum _{i=1}^m\angle \left(s-z_i\right)-\sum _{j=1}^n\angle \left(s-p_j\right)=2k\pi$$
那么我们发现,根轨迹中的模值条件未发生改变,但是相角条件由$(2k+1)\pi$变成了$2k\pi$,因此根轨迹中8条法则中凡是跟相角条件有关的法则都要发生变化,其中有3条要发生变化.

1. 实轴上的根轨迹变化为；从最右端开始偶数到单数之间是根轨迹。
2. 渐近线变化为；
   渐近线角度变化为$${\phi }_a=\frac{2k\pi }{n-m}$$
   渐近线焦点不变，依旧是；
   $${\sigma }_a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{j=1}^m{z}_i}{n-m}$$
   3.出射角/入射角变为；
   $$\sum _{i=1}^n\angle (s-p_i)-\sum _{j=1}^m\angle (s-z_j)=2k\pi$$

到此呢，广义根轨迹就结束了。
最后再总结一下吧。

• 参数根轨迹的要点是找到等效传递函数来绘制根轨迹。
• 零度根轨迹要注意8条法则中有3条要发生变化，其他的均不发生变化。