根轨迹的基本概念与绘制

根轨迹概念

根轨迹:系统的某一参数由$0\to \infty$变化时,闭环极点$\lambda$(特征方程的根)在S平面相应变化所描绘出来的轨迹。（那么根轨迹里的根，指的就是特征方程的根。）
下面给出一个例题来讲解一些常用的参数定义;

系统结构图如下,分析$\lambda$随开环增益K变化的趋势

写出系统开环传递函数:
$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{K}{s(0.5s+1)}......(1)\\ & =\frac{K^{\ast }}{s(s+2)}...........(2)\end{array}$$
其中,$K^{\ast }=2K$。
$$\{\begin{array}{c}式(1)为尾一标准型，K定义为开环增益\\ 式(2)为首一标准型，K^{\ast }定义为根轨迹增益\end{array}$$
写出闭环传递函数为；
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K^{\ast }}{s^2+2s+K^{\ast }}$$
由于研究$K$从$0\to \infty$变化，与$K^{\ast }$从$0\to \infty$变化相同。因此，我们可以直接对$K^{\ast }$进行讨论。
那么，求闭环极点，特征方程的根，即解如下方程：
$$s^2+2S+K^{\ast }=0$$
设，${\lambda }_1$和${\lambda }_2$为方程的两个根，解得：
$$\begin{array}{c}{\lambda }_1=-1+\sqrt{1-K^{\ast }}\\ {\lambda }_2=-1-\sqrt{1-K^{\ast }}\end{array}$$
从而，当$K^{\ast }$从$0\to \infty$变化时，每一个$K^{\ast }$的值，都对应着有两个根。如下表。

由此，根据${\lambda }_1$和${\lambda }_2$不同的数值，可以绘制得到两条曲线。如下图。

那么，如上图所示曲线，即为根轨迹。

利用根轨迹分析系统性能

既然画出了根轨迹，那么我们要清楚为什么画根轨迹，画根轨迹的意义是什么。由于根轨迹的根，指的是闭环传递函数的特征根，而通过根在复平面所在位置，我们可以分析并判断系统是否稳定。因此，通过根轨迹我们可以得知系统稳定的根出现在什么位置，并由根的值来反推传递函数中$K^{\ast }$的值。
因此，接着上面这个例题，接下来分析系统稳定性的问题。

由特征根数值，我们可以知道系统是否稳定。
由于此例题中，根轨迹都在复域的左半平面上，即没有正实根的情况，因此，随着$K^{\ast }$的值的变化，系统都将保持稳定。

根轨迹的基本方程

我们写出通用的闭环传递函数方程；
$$\Phi (s)=\frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
由闭环传递函数，我们可得闭环系统特征方程为：
$$1+G(s)H(s)=0$$
换个式子表示：
$$G(s)H(s)=-1\text{\hspace{1em}(2)}$$
此时，我们假设有m个开环零点，有n个开环极点。则得以下公式；
$$G(s)H(s)=K^{\ast }\frac{{\prod }_{j=1}^m\left(s-z_j\right)}{{\prod }_{i=1}^n\left(s-p_i\right)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
由，(2),(3)两式联立可得:
$$K^{\ast }\frac{{\prod }_{j=1}^m\left(s-z_j\right)}{{\prod }_{i=1}^n\left(s-p_i\right)}=-1\text{\hspace{1em}(4)}$$
因为，对于一个高阶系统来说，要求数值解会相当得麻烦，因此，我们会考虑换一种方法来获得根轨迹。而坐标轴除了直角坐标系以外，还有极坐标系。那么，我们这里可以考虑使用开环传递函数的模长和角度满足式(2)来获得根轨迹。
则，我们可以把特征方程分解为角度方程和模长方程两个方程。

复数向量角度及模长计算

在这里要讲解一个数学推导公式，以获得角度方程和模长方程。
在复数中，我们有一个最基本且最重要的公式叫做欧拉公式，复数的建立基本都来源于此公式，如下：
$$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \text{\hspace{1em}(5)}$$
因此，我们将复数的一个形式依据欧拉公式做如下变换：
$$\begin{array}{rl}z& =a+bi\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right)\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\left(cos\theta +isin\theta \right)\\ & =\sqrt{a^2+b^2}{e}^{i\theta }\\ & =\rho e^{i\theta }\end{array}$$
由上式，我们推导了将复数转化为了一种特殊的形式。其中，$\rho$为复数的模长，而$\theta$表示复数向量的相角。
那么，我们重新推导复数的乘法及除法公式。首先假设两个复数如下：
$$\begin{gathered} z_1={\rho }_1{e}^{i{\theta }_1} \\ {z}_2={\rho }_2{e}^{i{\theta }_2} \end{gathered}$$
将两复数相乘，可得下式：
$$\begin{array}{rl}{z}^{\prime }=z_1{z}_2& ={\rho }_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot {\rho }_2{e}^{i{\theta }_2}\\ & ={\rho }_1\rho 2e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}\\ & ={\rho }^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
那么,从上式,我们可以得到如下公式:
$$\{\begin{array}{rl}{\theta }^{\prime }& ={\theta }_1+{\theta }_2\\ {\rho }^{\prime }& ={\rho }_1{\rho }_2\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
由上式，说明两复数相乘后的相角等于两复数相角之和，而两复数相乘后模长等于两复数模的积
同样的,将两复数做除法可得下式;
$$\begin{array}{rl}{z}^{\prime }=\frac{z_1}{z_2}& =\frac{{\rho }_1{e}^{i{\theta }_1}}{{\rho }_2{e}^{i\theta 2}}\\ & =\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}\\ & ={\rho }^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
于是，同理，可得
$$\{\begin{array}{rl}{\theta }^{\prime }& ={\theta }_1-{\theta }_2\\ {\rho }^{\prime }& =\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
由上式，说明两复数相除后的相角等于两复数相角之差，而复数相除后的模等于两复数模的商。

相角条件及模长条件

在有了上述复数运算基础公式（7）后，我们可以通过特征方程获得到相角条件和模长条件，也就是相角方程和模长方程。

$$K^{\ast }\frac{{\prod }_{j=1}^m\left|s-z_j\right|}{{\prod }_{i=1}^n\left|s-p_i\right|}=1\text{\hspace{1em}(8)}$$
$$\sum _m^{j=1}\angle \left(s-z_j\right)-\sum _n^{i=1}\angle \left(s-p_i\right)=(2k+1)\pi \text{\hspace{1em}(9)}$$
那么由（8）和（9）式，我们就可以绘制出系统的根轨迹了。根轨迹8大法则见下篇。