一、常用坐标系
由于INS是一种完全自主的导航系统，不与外界发生联系。但是我们又想知道物体的的位置，尤其是其与GNSS组合时需要知道其与GNSS在同一坐标系下的位置信息，这就牵扯到了INS的几个导航系统之间的转换。笼统的讲，INS输出的是载体坐标系下的比力和旋转角速度，我们需要将这种输出信息转换到我们常用的如惯性系或者地固系。因此本节主要介绍INS相关的几个常用坐标系及相互之间的转换关系。
1. 惯性系
惯性坐标系（用 i 表示），主要是指在空间固定或者常速运动的坐标下，它提供惯性传感器输出的参考基准。在GNSS中，我们也需要用到惯性坐标系，这里我们常用的惯性系是以地心为参考原点，即地心惯性系，其具体定义为
- 原点位于地球质心
- Z轴延地球自转轴指向协议地极；
- x轴位于赤道平面指向春分点；
- y轴位于赤道平面内，与x轴、z轴构成右手系。
2. 地固系
地固系（用 e 表示），其参考原点、Z轴的定义与惯性系一致，但坐标系随着地球旋转，旋转角速度为 ω i e \omega_{ie} ωie，其具体定义为：
- 原点位于地球质心
- Z轴延地球自转轴指向协议地极；
- X轴只想赤道平面与格林尼治经线的交点
- y轴位于赤道平面内，与x轴、z轴构成右手系。
其与惯性系的转换简单，即：
C i e = [ c o s ω i e t s i n ω i e t 0 − s i n ω i e t c o s ω i e t 0 0 0 1 ] C^{e}_{i}=\begin{bmatrix} cos\omega_{ie}t & sin\omega_{ie}t & 0 \\ -sin\omega_{ie}t & cos\omega_{ie}t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Cie=⎣⎡cosωiet−sinωiet0sinωietcosωiet0001⎦⎤
3.当地导航坐标系
导航坐标系（用 n 表示）是一种地理坐标系，即常说的NEU、NED坐标系。其常用的定义如下：
- 原点在惯性传感器中心
- x轴指向当地北方向
- y轴指向当地东方向
- z轴指向地向/天，与x、y构成右手系
其与地固系的转换较为简答，只需知道地理坐标即可，转换矩阵如下：
C e n = [ − c o s λ s i n L − s i n λ s i n L c o s L − s i n λ c o s λ 0 − c o s λ c o s L − s i n λ c o s L − s i n L ] C^{n}_{e}=\begin{bmatrix} -cos\lambda{sinL} & -sin\lambda{sinL} & cosL \\ -sin\lambda & cos\lambda& 0 \\ -cos\lambda{cosL} & -sin\lambda{cosL} & -sinL \end{bmatrix} Cen=⎣⎡−cosλsinL−sinλ−cosλcosL−sinλsinLcosλ−sinλcosLcosL0−sinL⎦⎤
式中 λ \lambda λ和L分别为当地的大地经度和大地纬度。
4. 载体坐标系
载体坐标系（用 b 表示）用来描述载体的运动情况，有不同的定义方法，对大部分应用来说，在安装捷联系统的加速度计敏感轴时与载体的几何轴向一致。即常用的载体坐标系如下定义：
- 原点为运动载体的重心
- x轴沿载体的纵轴向前，表示横滚轴
- y轴沿载体横轴向右，表示俯仰轴
- z轴沿载体竖轴向下，表示偏航轴
导航坐标系与载体坐标系的转换是惯性导航中的核心。因为惯性传感器测量输出的是载体坐标系的比力，需要将其转换到导航坐标系进行积分才能得出加速度信息。在已知欧拉角的情况下，两者的转换矩阵如下：
C b n = [ c n b ] T = [ c o s θ c o s ψ − c o s ϕ s i n ψ + s i n ϕ s i n θ c o s ψ s i n ϕ s i n ψ + c o s ϕ s i n θ c o s ψ c o s θ s i n ψ c o s ϕ c o s ψ + s i n ϕ s i n θ s i n ψ − s i n ϕ c o s ψ + c o s ϕ s i n θ s i n ψ − s i n θ s i n ϕ c o s θ c o s ϕ c o s θ ] C^{n}_{b}=[c^{b}_{n}]^T=\begin{bmatrix} cos\theta{cos\psi} & -cos\phi{sin\psi}+sin\phi{sin\theta}{cos\psi} & sin\phi{sin\psi}+cos\phi{sin\theta}{cos\psi} \\ cos\theta{sin\psi} & cos\phi{cos\psi}+sin\phi{sin\theta}{sin\psi} & -sin\phi{cos\psi}+cos\phi{sin\theta}{sin\psi} \\ -sin\theta & sin\phi{cos\theta} & cos\phi{cos\theta} \end{bmatrix} Cbn=[cnb]T=⎣⎡cosθcosψcosθsinψ−sinθ−cosϕsinψ+sinϕsinθcosψcosϕcosψ+sinϕsinθsinψsinϕcosθsinϕsinψ+cosϕsinθcosψ−sinϕcosψ+cosϕsinθsinψcosϕcosθ⎦⎤
式中 θ 、 ϕ 、 ψ \theta、\phi、\psi θ、ϕ、ψ为三个欧拉角。
二、姿态的表示
除此之外，介绍一下姿态的几种表示方法。由于INS输出的不仅仅有加速度信息，还会有姿态信息，对姿态的计算结果会影响到加速度的计算。因此姿态的精度决定了INS导航的精度。在SINS中，姿态的表示方法总分为欧拉角表示法、方向余弦矩阵表示法、四元数法。
1. 欧拉角
即对应于载体坐标系的三个参数。分别为俯仰角、横滚角和航向角。
2. 方向余弦矩阵
方向余弦矩阵（Direction Cosine Matrix， DCM）是一个3X3的九参数矩阵，表示两个坐标系之间的相对姿态。对应于上节不同坐标系之间的转换矩阵。如：
C
b
n
=
[
c
n
b
]
T
=
[
C
11
C
12
C
13
C
21
C
22
C
23
C
31
C
32
C
33
]
=
[
c
o
s
θ
c
o
s
ψ
−
c
o
s
ϕ
s
i
n
ψ
+
s
i
n
ϕ
s
i
n
θ
c
o
s
ψ
s
i
n
ϕ
s
i
n
ψ
+
c
o
s
ϕ
s
i
n
θ
c
o
s
ψ
c
o
s
θ
s
i
n
ψ
c
o
s
ϕ
c
o
s
ψ
+
s
i
n
ϕ
s
i
n
θ
s
i
n
ψ
−
s
i
n
ϕ
c
o
s
ψ
+
c
o
s
ϕ
s
i
n
θ
s
i
n
ψ
−
s
i
n
θ
s
i
n
ϕ
c
o
s
θ
c
o
s
ϕ
c
o
s
θ
]
C^{n}_{b}=[c^{b}_{n}]^T=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta{cos\psi} & -cos\phi{sin\psi}+sin\phi{sin\theta}{cos\psi} & sin\phi{sin\psi}+cos\phi{sin\theta}{cos\psi} \\ cos\theta{sin\psi} & cos\phi{cos\psi}+sin\phi{sin\theta}{sin\psi} & -sin\phi{cos\psi}+cos\phi{sin\theta}{sin\psi} \\ -sin\theta & sin\phi{cos\theta} & cos\phi{cos\theta} \end{bmatrix}
Cbn=[cnb]T=⎣⎡C11C21C31C12C22C32C13C23C33⎦⎤=⎣⎡cosθcosψcosθsinψ−sinθ−cosϕsinψ+sinϕsinθcosψcosϕcosψ+sinϕsinθsinψsinϕcosθsinϕsinψ+cosϕsinθcosψ−sinϕcosψ+cosϕsinθsinψcosϕcosθ⎦⎤
可以通过方向余弦矩阵计算欧拉角：
θ
=
a
r
c
i
s
n
(
C
32
)
\theta=arcisn(C_{32})
θ=arcisn(C32)
ϕ
=
a
r
c
t
a
n
2
(
−
C
31
,
C
33
)
\phi = arctan2(-C_{31},C_{33})
ϕ=arctan2(−C31,C33)
ψ
=
a
r
c
t
a
n
2
(
C
12
,
C
22
)
\psi = arctan2(C_{12},C_{22})
ψ=arctan2(C12,C22)
其中arctan2表示具有象限判断功能的反正切函数。
3.四元数
四元数（quaternion）是一个包含四个元素的矢量，可以用来描述刚体的转动和姿态的变换。
q
=
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k
q=q0+q1i+q2j+q3k
其中，q表示四元数矢量，
q
0
、
q
1
、
q
2
、
q
3
q_0、q_1、q_2、q_3
q0、q1、q2、q3表示实数部分，i、j、k是相互垂直的单位矢量。如果空间中一个矢量r在两个坐标系中的表示分别为
r
b
=
x
b
i
+
y
b
j
+
z
b
k
r^b=x^bi+y^bj+z^bk
rb=xbi+ybj+zbk和
r
n
=
x
n
i
+
y
n
j
+
z
n
k
r^n=x^ni+y^nj+z^nk
rn=xni+ynj+znk,采用四元数可以将其进行转换
r
n
、
=
q
r
n
、
q
∗
r^{n^、}=qr^{n^、}q^{*}
rn、=qrn、q∗
其中，
r
n
、
=
0
+
x
n
i
+
y
n
j
+
z
n
k
r^{n^、}=0+x^ni+y^nj+z^nk
rn、=0+xni+ynj+znk表示坐标的四元数形式，
q
∗
q^{*}
q∗表示为四元数的共轭。
四元数可以转换为方向余弦矩阵
C
b
n
=
[
(
q
0
2
+
q
1
2
−
q
2
2
−
q
3
2
)
2
(
q
1
q
2
−
q
0
q
3
)
2
(
q
1
q
3
+
q
0
q
2
)
2
(
q
1
q
2
+
q
0
q
3
)
(
q
0
2
−
q
1
2
+
q
2
2
−
q
3
2
)
2
(
q
2
q
3
−
q
0
q
1
)
2
(
q
1
q
3
−
q
0
q
2
)
2
(
q
2
q
3
+
q
0
q
1
)
(
q
0
2
−
q
1
2
−
q
2
2
+
q
3
2
)
]
C^n_{b}=\begin{bmatrix}({q_0}^2+{q_1}^2-{q_2}^2-{q_3}^2) & 2(q_1q_2-q_0q_3) & 2(q_1q_3+q_0q_2) \\ 2(q_1q_2+q_0q_3) & ({q_0}^2-{q_1}^2+{q_2}^2-{q_3}^2) & 2(q_2q_3-q_0q_1) \\ 2(q_1q_3-q_0q_2) & 2(q_2q_3+q_0q_1) & ({q_0}^2-{q_1}^2-{q_2}^2+{q_3}^2) \end{bmatrix}
Cbn=⎣⎡(q02+q12−q22−q32)2(q1q2+q0q3)2(q1q3−q0q2)2(q1q2−q0q3)(q02−q12+q22−q32)2(q2q3+q0q1)2(q1q3+q0q2)2(q2q3−q0q1)(q02−q12−q22+q32)⎦⎤
方向余弦矩阵转化为四元数：
T
0
=
1
+
t
r
(
C
b
n
)
T_0=1+tr(C^n_b)
T0=1+tr(Cbn)
T
1
=
1
+
C
11
−
t
r
(
C
b
n
)
T_1 = 1+C_{11}-tr(C^n_b)
T1=1+C11−tr(Cbn)
T
2
=
1
+
2
C
22
−
t
r
(
C
b
n
)
T_2=1+2C_{22}-tr(C^n_b)
T2=1+2C22−tr(Cbn)
T
3
=
1
+
C
33
−
t
r
(
C
b
n
)
T_3=1+C_{33}-tr(C^n_b)
T3=1+C33−tr(Cbn)
如果
T
0
=
m
a
x
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
T_0=max{T_0,T_1,T_2,T_3}
T0=maxT0,T1,T2,T3，则
q
0
=
T
0
2
,
q
1
=
C
32
−
C
23
4
q
0
,
q
2
=
C
13
−
C
31
4
q
0
,
q
3
=
C
21
−
C
12
4
q
0
q_0=\frac{\sqrt{T_0}}{2},q_1=\frac{C_{32}-C_{23}}{4q_0},q_2=\frac{C_{13}-C{31}}{4q_0},q_3=\frac{C_{21}-C_{12}}{4q_0}
q0=2T0,q1=4q0C32−C23,q2=4q0C13−C31,q3=4q0C21−C12
若
T
1
=
m
a
x
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
T_1=max{T_0,T_1,T_2,T_3}
T1=maxT0,T1,T2,T3，则
q
1
=
T
1
2
,
q
2
=
C
21
−
C
12
4
q
0
,
q
3
=
C
13
−
C
31
4
q
0
,
q
0
=
C
32
−
C
23
4
q
0
q_1=\frac{\sqrt{T_1}}{2},q_2=\frac{C_{21}-C_{12}}{4q_0},q_3=\frac{C_{13}-C{31}}{4q_0},q_0=\frac{C_{32}-C_{23}}{4q_0}
q1=2T1,q2=4q0C21−C12,q3=4q0C13−C31,q0=4q0C32−C23
若
T
2
=
m
a
x
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
T_2=max{T_0,T_1,T_2,T_3}
T2=maxT0,T1,T2,T3，则
q
2
=
T
2
2
,
q
3
=
C
32
+
C
23
4
q
0
,
q
0
=
C
13
−
C
31
4
q
0
,
q
1
=
C
21
+
C
12
4
q
0
q_2=\frac{\sqrt{T_2}}{2},q_3=\frac{C_{32}+C_{23}}{4q_0},q_0=\frac{C_{13}-C{31}}{4q_0},q_1=\frac{C_{21}+C_{12}}{4q_0}
q2=2T2,q3=4q0C32+C23,q0=4q0C13−C31,q1=4q0C21+C12
若
T
3
=
m
a
x
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
T_3=max{T_0,T_1,T_2,T_3}
T3=maxT0,T1,T2,T3，则
q
3
=
T
3
2
,
q
0
=
C
21
−
C
12
4
q
0
,
q
1
=
C
13
+
C
31
4
q
0
,
q
2
=
C
32
+
C
23
4
q
0
q_3=\frac{\sqrt{T_3}}{2},q_0=\frac{C_{21}-C_{12}}{4q_0},q_1=\frac{C_{13}+C{31}}{4q_0},q_2=\frac{C_{32}+C_{23}}{4q_0}
q3=2T3,q0=4q0C21−C12,q1=4q0C13+C31,q2=4q0C32+C23
四元数与欧拉角的转换关系为：
q
0
=
c
o
s
ϕ
2
c
o
s
θ
2
c
o
s
ψ
2
+
s
i
n
ϕ
2
s
i
n
θ
2
s
i
n
ψ
2
q_0=cos\frac{\phi}{2}cos\frac{\theta}{2}cos\frac{\psi}{2}+sin\frac{\phi}{2}sin\frac{\theta}{2}sin\frac{\psi}{2}
q0=cos2ϕcos2θcos2ψ+sin2ϕsin2θsin2ψ
q
1
=
c
o
s
ϕ
2
s
i
n
θ
2
c
o
s
ψ
2
+
s
i
n
ϕ
2
c
o
s
θ
2
s
i
n
ψ
2
q_1=cos\frac{\phi}{2}sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\psi}{2}+sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\theta}{2}sin\frac{\psi}{2}
q1=cos2ϕsin2θcos2ψ+sin2ϕcos2θsin2ψ
q
2
=
s
i
n
ϕ
2
c
o
s
θ
2
c
o
s
ψ
2
−
c
o
s
ϕ
2
s
i
n
θ
2
s
i
n
ψ
2
q_2=sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\theta}{2}cos\frac{\psi}{2}-cos\frac{\phi}{2}sin\frac{\theta}{2}sin\frac{\psi}{2}
q2=sin2ϕcos2θcos2ψ−cos2ϕsin2θsin2ψ
q
3
=
c
o
s
ϕ
2
c
o
s
θ
2
s
i
n
ψ
2
−
s
i
n
ϕ
2
s
i
n
θ
2
c
o
s
ψ
2
q_3=cos\frac{\phi}{2}cos\frac{\theta}{2}sin\frac{\psi}{2}-sin\frac{\phi}{2}sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\psi}{2}
q3=cos2ϕcos2θsin2ψ−sin2ϕsin2θcos2ψ