微分方程经典解法

计算时, 先将特解带入原方程, 求出特解, 得到带有未知齐次解系数的方程, 再根据初始条件(零时刻的值, 零时刻的导数(通过换路定则进行计算))求解系数.

• 强制响应: 与激励有关的称为强制响应
• 自由响应: 与特征根有关的瞬态项称为自由响应.

零输入响应和零状态响应

• 零输入响应对应系统方程的齐次解, 零状态响应是在激励作用下系统的非齐次解. 求解非齐次微分方程是比较繁琐的工作, 故引出卷积积分法.
  

冲激响应与阶跃响应:

• 系统在单位冲激信号激励下的零状态响应称为冲激响应. 一般用h(t)表示
• 特点: 由于$\delta (t)$及其导数在t>0时为零, 因此方程右端的自由项恒等于0, 这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同. 为齐次解乘阶跃信号.
• 齐次解发求冲激响应:
  
  令方程右左端系数为1, 右端只有一项$\delta (t)$时, 冲激响应为$\hat{h}(t)$, 原系统的冲激响应为$\hat{h}(t)$的线性组合.
  由于右侧有冲激函数, 左侧为$\hat{h}(t)$的各阶导数和, 因此左侧只有阶数最高项含有$\delta (t)$, 其余项为冲激函数的积分项. 对方程两边进行积分
  
  
  
  
  方法简述: 直接计算原方程的齐次解, 齐次解乘u(t)就是$\hat{h}(t)$, $h(t)$就是对$\hat{h}(t)$进行等式右侧对激励的作用.
  eg:
  

卷积

• 定义: 设有两个函数$f_1(t)$和$f_2(t)$积分
  
  称为$f_1(t),f_2(t)$的卷积积分, 利用卷积可以求解系统的零状态响应. 系统的零状态响应是激励与其冲激响应的卷积.

差分方程求解

• 时域经典法
  
  
  
  
  

求解系统全响应

• 全响应=零状态+零输入
• 零输入求法: 令输入信号(x(n))为0, 求得差分方程的解即为零输入
• 零状态求法: 零状态为激励和系统冲激响应的卷积和.
• 单位样值响应求法: 令输入信号为$\delta (n)$, 当n>0时为零输入响应, 当n=0时y(n)=1, 故结果与零输入响应相同, n$\ge 0$.

卷积和的求法

• 卷积和性质: 分配律, 交换律, 结合律, 差分/求和率
• 差分与求和: $$\begin{gathered} \Delta a(n)=a(n+1)-a(n) \\ ▽a(n)=a(n)-a(n-1) \\ \sum _{m=0}^{\infty }a(n)与差分为逆运算 \end{gathered}$$
  eg: $$\begin{gathered} ▽u(n)=\delta (n) \\ \sum _{m=0}^{\infty }\delta (n-m)=u(n) \\ \sum _{m=0}^{\infty }u(n-m)=(n+1)u(n) \\ ▽(n+1)u(n)=u(n) \end{gathered}$$
  例题: 求$nu(n)\ast nu(n)$
  $$\begin{gathered} 原式等于[(n+1)u(n)-u(n)]\ast nu(n) \\ =u(n)\ast \sum _{n=0}^{\infty }nu(n)-\sum _{n=0}^{\infty }nu(n) \\ =\delta (n)\ast \sum _{n=0}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{n=0}^{\infty }nu(n) \\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{n=0}^{\infty }nu(n) \\ 已知:\sum _{n=0}^{\infty }{n}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{gathered}$$